70. Монотонность функции. Условия монотонности.

Моното́нная фу́нкция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной. Монотонная функция — это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.

Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Определения

Пусть дана функция Тогда

• функция называетсявозраста́ющей на , если

.

• функция называетсястро́го возраста́ющей на , если

.

• функция называетсяубыва́ющей на , если

.

• функция называетсястро́го убыва́ющей на , если

.

(Строго) возрастающая или убывающая функция называется (строго) монотонной.

Другая терминология

Иногда возрастающие функции называют неубыва́ющими, а убывающие функции невозраста́ющими. Строго возрастающие функции тогда зовут просто возрастающими, а строго убывающие просто убывающими.

Свойства монотонных функций

• Монотонная функция, определённая на интервале, измерима относительно борелевских сигма-алгебр.

• Монотонная функция, определённая назамкнутом интервале, ограничена. В частности, она интегрируема по Лебегу.

• Монотонная функция может иметь разрывы только первого рода. В частности, множество точек разрыва не более чем счётно.

• Монотонная функция дифференцируема почти всюду относительно меры Лебега.

Условия монотонности функции

• (Критерий монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция непрерывна наи имеет в каждой точкепроизводную Тогда

 не убывает на тогда и только тогда, когда

 не возрастает на тогда и только тогда, когда

• (Достаточное условие строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция непрерывна наи имеет в каждой точкепроизводнуюТогда

если тострого возрастает на

если тострого убывает на

Обратное, вообще говоря, неверно. Производная строго монотонной функции может обращаться в ноль. Однако, множество точек, где производная не равна нулю, должно быть плотнона интервале Точнее имеет место

• (Критерий строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть и всюду на интервале определена производнаяТогдастрого возрастает на интервалетогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

Аналогично, строго убывает на интервалетогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия: