45. Первый замечательный предел. Следствия. Теорема о пределе суммы, произведения и частного.

Первый замечательный предел

Доказательство

Рассмотрим односторонние пределы ии докажем, что они равны 1.

Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности ().

Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке . ТочкаH — проекция точки K на ось OX.

Очевидно, что:

 (1)

(где — площадь сектора)

(из :)

Подставляя в (1), получим:

Так как при :

Умножаем на :

Перейдём к пределу:

Найдём левый односторонний предел:

Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.

Следствия

Доказательства

Теоремы о пределах.

Теорема 1. Предел суммы равен сумме пределов, если они существуют: 

Доказательство:

Из теоремы о связи между пределом и бесконечно малой величиной следует:

Получаем 

Теорема 2. Предел произведения равен произведению пределов, если они существуют: 

Доказательство:

Из теоремы о связи между пределом и бесконечно малой величиной следует:

Получаем 

Теорема 3. Предел частного равен частному пределов: . При условии: все пределы существуют и.

Доказательство:

Из теоремы о связи между пределом и бесконечно малой величиной следует:

 ;

Получаем: