46. Ограниченные функции и их свойства. Необходимое условие существования предела функции в точке.

Ограниченность функции.

Функция f(x) называется ограниченной на данном промежутке (a,b), если существуют некоторые числа m и M такие, что

m ≤ f(x) ≤ M

при хє(a,b).

Число m_o= inf {f(x)} [x є (a,b)] = max m называется нижней гранью функции ,

а число M_o= sup {f(x)} [x є (a,b)]=min M называется верхней гранью функции на данном промежутке (a,b).

Разность M_o- m_o называется колебанием функции на промежутке (a,b).

Критерий Коши:

Предел функции f(x) в точке a существует тогда и только тогда, если для каждого ε > 0 найдется такое δ = δ (ε) >0, что

|f(x' ) - f(x" )| < ε,

как только 0 < |x' - a| < δ и 0 < |x' - a| < δ, где x' и x" - любые точки из области определения функции f(x).