83. Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл и свойства. Теорема о среднем.

Определение

Пусть определена на. Разобьёмна части с несколькими произвольными точками. Тогда говорят, что произведено разбиениеотрезкаДалее выберем произвольную точку,,

Определённым интегралом от функции на отрезкеназывается предел интегральных сумм при стремлении ранга разбиения к нулю, если он существует независимо от разбиенияи выбора точек, то есть

Если существует указанный предел, то функция называется интегрируемой напо Риману.

Свойства определенных интегралов

         Ниже перечислены основные свойства определенного интеграла.

         1. ;

         2. если, то;

         3. ;

         4. ;

         5. ;

         6. если, то.

Геометрический смысл

Определённый интеграл как площадь фигуры

Определённый интеграл численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямымиии графиком функции.

Первая теорема о среднем

         Теорема. Пусть

1.     f(x) и g(x) интегрируемы на [a, b];

2.     существуют такие конечные m и M, что ;

3.     .

Тогда существует  такое, что

1. ;

2. .

         Следствие. Если f(x) непрерывна на [a, b], то существует такое c[a, b], что

.

         Частный случай. Пусть g(x) = 1 и f(x) непрерывна на [a, b]. Тогда существует такое c[a, b], что

.

Рис. 5.3 Геометрическая интерпретация первой теоремы о среднем

         Геометрически это означает, что существует c[a, b], такое,  что площадь криволинейной трапеции ограниченной графиком кривой f(x) и отрезком [a, b] равна площади прямоугольника с основанием [a, b] и высотой, равной f(с).