67. Дифференциалы высших порядков. Неинвариантность формы записи.

Дифференциалом порядка n, где n > 1 от функции в некоторой точке называется дифференциал в этой точке от дифференциала порядка(n — 1), то есть

  .

Дифференциал высшего порядка функции одной переменной

Для функции, зависящей от одной переменной второй и третий дифференциалы выглядят так:

Отсюда можно вывести общий вид дифференциала n-го порядка от функции :

При вычислении дифференциалов высших порядков очень важно, что есть произвольное и не зависящее от, которое при дифференцировании последует рассматривать как постоянный множитель.

Дифференциал высшего порядка функции нескольких переменных

Если функция имеет непрерывные частные производные второго порядка, то дифференциал второго порядка определяется так:.

Символически общий вид дифференциала n-го порядка от функции выглядит следующим образом:

где , апроизвольные приращения независимых переменных. Приращениярассматриваются как постоянные и остаются одними и теми же при переходе от одного дифференциала к следующему. Сложность выражения дифференциала возрастает с увеличением числа переменных.

Неинвариантность дифференциалов высшего порядка

При  ,-й дифференциал не инвариантен (в отличие отинвариантности первого дифференциала), то есть выражение зависит, вообще говоря, от того, рассматривается ли переменнаякак независимая, либо как некоторая промежуточная функция другого переменного, например,.

Для доказательства неинвариантности дифференциалов высшего порядка достаточно привести пример. При n = 2 и  :

• если  — независимая переменная, то

• если  и

2. при этом,  и

С учётом зависимости , уже второй дифференциал не обладает свойством инвариантности при замене переменной. Также не инвариантны дифференциалы порядков 3 и выше.