43. Теоремы о пределах:

а) о единственности предела (с доказательством);

б) о предельном переходе в равенстве (с док-вом);

в) о переходе к пределу в неравенствах;

г) о пределе сжатой переменной.

А - Теорема о единственности предела последовательности

Докажем следующую теорему.

Теорема 1. Любая сходящаяся последовательность имеет единственный предел.

Доказательство. Предположим, что это не так, т. е. xna и xnb одновременно. Выберем числа 1 и 2 таким образом, чтобы множества, задаваемые неравенствами , не пересекались. По определению предела последовательности, начиная с некоторых значений N1 (N2), все члены последовательности принадлежат первому (второму) из этих множеств. Выберем в качестве N3=max(N1, N2). Тогда, начиная с номера N3, все члены последовательности принадлежат обоим этим множествам, что невозможно. □

Задание. Доказать, что если последовательность сходится, то она является ограниченной, т. е. все её значения по абсолютной величине не превосходят некоторого числа.

Пример. Доказать, что .

Предельный переход в неравенствах

Теорема 2. Если для двух последовательностей xn, yn всегда выполняется неравенство xn  yn, причём каждая из них имеет конечный предел: xn  a,  yn  b, то a  b.

Доказательство. Предположим, что это не так, т. е. a < b. Выберем  > 0 таким образом, чтобы окрестности точек a и b не пересекались. Тогда все элементы последовательности xn, начиная с некоторого N1, попадают в -окрестность точки a, а все элементы последовательности yn, начиная с некоторого N2, попадают в -окрестность точки b. Выберем N3 = max(N1, N2). Тогда n  N3 справедливо неравенство xn < yn. Получили противоречие. □

Замечание. Из строгого неравенства xn>yn для сходящихся последовательностей, вообще говоря, следует неравенство . Приведите пример.

Теорема 3. Если для последовательностей xn, yn, zn всегда выполняются неравенства xnynzn, причём , тогда .

Доказательство проводится так же, как и в предыдущей теореме.

Следствие. Если для всех n a  yn  zn, причём , тогда .

Б - Теорема 1. (о предельном переходе в равенстве) Если две функции принимают одинаковые значения в окрестности некоторой точки, то их пределы в этой точке совпадают.

  .

В - Теорема 2. (о предельном переходе в неравенстве) Если значения функции f(x) в окрестности некоторой точки не превосходят соответствующих значений функции g(x) , то предел функции f(x) в этой точке не превосходит предела функции g(x).

  .

Г - теорема о сжатой переменной. n>N₁ XnZnYn  limXn = lim Yn = a (n) =>  lim Zn=a (n)

Док-во: 1. из того, что  lim Xn=a (n) => n>N₂ |Xn-a|<E, a-E<Xn<a+E. 2. Из  lim Yn=a (n) => n>N₃, a-E<Yn<a+E. 3. N₀=max(N₁,N₂,N₃). При всех n>N₀ XnZnYn. a+E>XnZnYn>a-E => lim Zn=a (n)

Функция y=f(x) наз-ся ограниченной в данной обл-ти изменения аргумента Х, если сущ-ет положит число М такое, что для всех значений Х, принадлежащих рассматриваемой обл-ти, будет выполн-ся нер-во |f(x)|M. Если же такого числа М не сущ-ет, то f(x) наз-ся неограниченной в данной обл-ти.