logo
Высшая математика (2 семестр) / otvety

23. Ранг матрицы. Свойства ранга.

Рангом системы строк (столбцов) матрицы с строк и столбцов называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов, и это число называется рангом матрицы.

Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.

Ранг матрицы — Размерность образа линейного оператора, которому соответствует матрица.

Обычно ранг матрицы обозначается () или . Оба обозначения пришли к нам из иностранных языков, потому и употребляться могут оба. Последний вариант свойственен для английского языка, в то время как первый — для немецкого, французского и ряда других языков.

Свойства

  1. базисные строки и базисные столбцы линейно независимы;

  2. любая строка (столбец) матрицы есть линейная комбинация базисных строк (столбцов).

  • Следствия:

    • Если ранг матрицы равен , то любыестрок или столбцов этой матрицы будут линейно зависимы.

    • Если — квадратная матрица, и, то строки и столбцы этой матрицы линейно зависимы.

    • Пусть , тогда максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой матрицы равно.

  • Теорема (об инвариантности ранга при элементарных преобразованиях): Введём обозначение для матриц, полученных друг из другаэлементарными преобразованиями. Тогда справедливо утверждение: Если , то их ранги равны.

  • Теорема Кронекера — Капелли: Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы. В частности:

    • Количество главных переменных системы равно рангу системы.

    • Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.