42. Предел функции в точке, в бесконечности. Геометрическая интерпретация. Определения и примеры.

Пусть E R и a – предельная точка множества E.

Определение 1. Будем говорить, что a –предельная точка для множества E, если любая окрестность точки a содержит бесконечное подмножество множества E.

Пусть f:E  R. Приведем несколько формулировок определения предела функции. Для разных оценок бывает удобна то одна, то другая.

Определение 2 (предел функции по Коши). Число A R называется пределом функции f(x) в точке a или при x a и это обозначается следующим образом lim_x af(x) = A, если

 > 0 ()>0:  x: 0<|x-a|<  |f(x)-A|< 

Пример 1. Доказать, что lim_x 1(2x+3) = 5.

Запишем определение предела для данного примера

 >0  ()>0  x удовлетворяющих условию : 0<|x-1|<

должно быть выполнено неравенство

|2x+3-5|< или 2|x-1|<.

Отсюда следует, что неравенство 2|x-1|<2 выполнится, если /2. Если  = 0,1, то  = 0,05 , при  = 0,01,  = 0,005 и т.д. Таким образом, решение задачи состоит в нахождении , зависящего от .

Определение 3. Проколотой окрестностью точки называется окрестность точки, из которой исключена эта точка.

Обозначается проколотая окрестность символом .

Определение 4 (предел функции на "языке окрестностей"). Число A  R называется пределом функции f(x) в точке a или при x a,  если для любой окрестности U(A) числа A существует проколотая окрестность точки a такая, что f()  U(A).

Приведем еще одно эквивалентное определение предела на "языке последовательностей".

Определение 5 (предел функции по Гейне). A=lim_x  af(x)  означает, что

 x_n  a при n ; x_n  a, f(x_n)  A при n 

Пример 2. Покажем, что не существует предела f(x) = sin(1/x) при x 0. Для этого используем определение предела на языке последовательностей. Выберем две последовательности x_n1 = 1/ n, x_n2 = 1/(/2+2 n), которые обе сходятся к нулю при n. Тогда sin x_n1 = sin  n=0, sin x_n2 = sin (/2+2 n) = 1, Таким образом, f(x_n1) и f(x_n2) сходятся к разным числам, поэтому определение предела на "языке последовательностей" не выполняется.

Пример 3. Рассмотрим функцию Дирихле

, где Q –множество рациональных чисел, соответственно множество R\ Q –множество иррациональных чисел. Данная функция не имеет предела ни в одной точке a действительной прямой. Действительно, если выбрать последовательность рациональных чисел, сходящихся к a, то соответствующая последовательность значений функции сходится к единице. Если выбрать последовательность иррациональных значений, то значения функции сходятся к нулю. Следовательно, на основании определения предела по Гейне данная функция не имеет предела.

Рассмотрим геометрический смысл предела функции в точке. Неравенство |f(x)-A|< равносильно двойному A-<f(x)<A+. Число A есть предел функции f(x) при xa, если для любого  >0 найдется такая  -окрестность точки a, что для всех x a из этой окрестности соответствующие значения функции f(x) будут заключены в полосе A-<f(x)<A+ (см. рис. 14).

Рассмотрим понятие предела функции в бесконечности.

Определение 6 (предел функции в бесконечности).

lim_x f(x) = A,

если

 > 0  B() >0:  x таких, что |x| > B, выполняется |f(x)-A| < 

Определение 7.

lim_x  af(x) = ,

если

 A>0 (A) > 0:  x 0<|x-a|< , |f(x)| > A

lim_x f(x) = , если  A>0  B(A)>0:  x |x|> B, |f(x)|> A

Аналогично формулируются определения при x, а также определения, когда A = .

Замечание. Изученное понятие предела последовательности можно рассматривать как частный случай предела функции при x.

Пример 4. Доказать, что lim_x  11/(x-1)² = + 

 > 0 ()>0:  x 0<|x-1|<  выполняется 1/(x-1)²>   1/|x-1|2>1/ ²> 

Замечание. Если при стремлении x к a переменная x принимает лишь значения, меньшие a или большие a и при этом f(x) стремится к A, то говорят, что существуют односторонние пределы функции, то есть lim_x a-0f(x) = A – предел слева или lim_x a+0f(x) = A – предел справа. Очевидно, что если lim_x a-0f(x) = lim_x a+0f(x) = A, то lim_x a = A. Верно и обратное утверждение.

Пример 5. Покажем, что не существует предела f(x) = 2^1/x, при x  0.  lim_x  0-02^1/x = lim_x  0-02^-  = 0  lim_x  0+02^1/x = lim_x  0+02^+  = + 

Пределы не равны, следовательно lim_x 0 2^1/x не существует.