5.4. Производная степенно-показательной функции

Будем называть функцию вида степенно-показательной. Производная от этой функции в общем виде имеет вид

,

т.е. производная степенно-показательной функции равна сумме производных этой функции как от степенной, а затем как от показательной.

Однако для нахождения производных степенно-показательной функции можно применить прием логарифмического дифференцирования, который позволяет легко и быстро найти производную.

Пусть . Прологарифмируем обе части:

.

Найдем производную обеих частей этого равенства:

.

Тогда

.              (5.11)

Пример 1. y = x^x, ( x > 0 ).

Решение. Прологарифмируем ln y = x ln x. Тогда

.

Пример 2. .

Решение:  ln y = cos x ln sin x;

;

.

Пример 3. .

Решение: ;

;

.