30. Линейные пространства. Определение. Примеры, следствия из аксиом.

Аксиомы линейного пространства

Линейным (векторным) пространством называется множество произвольных элементов, называемых векторами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, т.е. любым двум векторамипоставлен в соответствие вектор, называемый суммой векторови, любому векторуи любому числуиз поля действительных чиселпоставлен в соответствие вектор, называемый произведением векторана число; так что выполняются следующие условия:

1. (коммутативность сложения);

2.  (ассоциативность сложения);

3. существует такой элемент , называемый нулевым вектором, что;

4. для каждого вектора существует такой вектор, называемый противоположным вектору, что;

5. ;

6. ;

7. ;

8. .

Условия 1-8 называются аксиомами линейного пространства. Знак равенства, поставленный между векторами, означает, что в левой и правой частях равенства представлен один и тот же элемент множества , такие векторы называются равными.

В определении линейного пространства операция умножения вектора на число введена для действительных чисел. Такое пространство называютлинейным пространством над полем действительных (вещественных) чисел, или, короче, вещественным линейным пространством. Если в определении вместо поля действительных чисел взять поле комплексных чисел, то получимлинейное пространство над полем комплексных чисел, или, короче, комплексное линейное пространство. В качестве числового поля можно выбрать и поле рациональных чисел, при этом получим линейное пространство над полем рациональных чисел. Далее, если не оговорено противное, будут рассматриваться вещественные линейные пространства. В некоторых случаях для краткости будем говорить о пространстве, опуская слово линейное, так как все пространства, рассматриваемые ниже — линейные.

Замечания 8.1

1. Аксиомы 1-4 показывают, что линейное пространство является коммутативной группой относительно операции сложения.

2. Аксиомы 5 и 6 определяют дистрибутивность операции умножения вектора на число по отношению к операции сложения векторов (аксиома 5) или к операции сложения чисел (аксиома 6). Аксиома 7, иногда называемая законом ассоциативности умножения на число, выражает связь двух разных операций: умножения вектора на число и умножения чисел. Свойство, определяемое аксиомой 8, называется унитарностью операции умножения вектора на число.

3. Линейное пространство — это непустое множество, так как обязательно содержит нулевой вектор.

4. Операции сложения векторов и умножения вектора на число называются линейными операциями над векторами.

5. Разностью векторов иназывается сумма векторас противоположным вектороми обозначается:.

6. Два ненулевых вектора иназываются коллинеарными (пропорциональными), если существует такое число, что. Понятие коллинеарности распространяется на любое конечное число векторов. Нулевой векторсчитается коллинеарным с любым вектором.

Следствия аксиом линейного пространства

1. В линейном пространстве существует единственный нулевой вектор.

2. В линейном пространстве для любого вектора существует единственный противоположный вектор.

3. Произведение произвольного вектора пространства на число нуль равно нулевому вектору, т.е. .

4. Произведение нулевого вектора на любое число равно нулевому вектору, т.е для любого числа.

5. Вектор, противоположный данному вектору, равен произведению данного вектора на число (-1), т.е. .

6. В выражениях вида (сумма конечного числа векторов) или(произведение вектора на конечное число множителей) можно расставлять скобки в любом порядке, либо вообще не указывать.

Докажем, например, первые два свойства. Единственность нулевого вектора. Если и— два нулевых вектора, то по аксиоме 3 получаем два равенства:или, левые части которых равны по аксиоме 1. Следовательно, равны и правые части, т.е.. Единственность противоположного вектора. Если векторимеет два противоположных вектораи, то по аксиомам 2, 3,4 получаем их равенство:

Остальные свойства доказываются аналогично.

Примеры линейных пространств

1. Обозначим — множество, содержащее один нулевой вектор, с операциямии. Для указанных операций аксиомы 1-8 выполняются. Следовательно, множествоявляется линейным пространством над любым числовым полем. Это линейное пространство называется нулевым.

2. Обозначим — множества векторов (направленных отрезков) на прямой, на плоскости, в пространстве соответственно с обычными операциями сложения векторов и умножения векторов на число. Выполнение аксиом 1-8 линейного пространства следует из курса элементарной геометрии. Следовательно, множестваявляются вещественными линейными пространствами. Вместо свободных векторов можно рассмотреть соответствующие множества радиус-векторов. Например, множество векторов на плоскости, имеющих общее начало, т.е. отложенных от одной фиксированной точки плоскости, является вещественным линейным пространством. Множество радиус-векторов единичной длины не образует линейное пространство, так как для любого из этих векторов суммане принадлежит рассматриваемому множеству.

3. Обозначим — множество матриц-столбцов размеровс операциями сложения матриц и умножения матриц на число. Аксиомы 1-8 линейного пространства для этого множества выполняются. Нулевым вектором в этом множестве служит нулевой столбец. Следовательно, множествоявляется вещественным линейным пространством. Аналогично, множествостолбцов размеровс комплексными элементами является комплексным линейным пространством. Множество матриц-столбцов с неотрицательными действительными элементами, напротив, не является линейным пространством, так как не содержит противоположных векторов.

4. Обозначим — множество решений однородной системылинейных алгебраических уравнений с и неизвестными (где— действительная матрица системы), рассматриваемое как множество столбцов размеровс операциями сложения матриц и умножения матриц на число. Заметим, что эти операции действительно определены на множестве. Из свойства 1 решений однородной системы (см. разд. 5.5) следует, что сумма двух решений однородной системы и произведение ее решения на число также являются решениями однородной системы, т.е. принадлежат множеству. Аксиомы линейного пространства для столбцов выполняются (см. пункт 3 в примерах линейных пространств). Поэтому множество решений однородной системы является вещественным линейным пространством.

Множество решений неоднородной системы, напротив, не является линейным пространством, хотя бы потому, что не содержит нулевого элемента (не является решением неоднородной системы).

5. Обозначим — множество матриц размеровс операциями сложения матриц и умножения матриц на число. Аксиомы 1-8 линейного пространства для этого множества выполняются. Нулевым вектором является нулевая матрицасоответствующих размеров. Следовательно, множествоявляется линейным пространством.

6. Обозначим — множество многочленов одной переменной с комплексными коэффициентами. Операции сложения много членов и умножения многочлена на число, рассматриваемое как многочлен нулевой степени, определены и удовлетворяют аксиомам 1-8 (в частности, нулевым вектором является многочлен, тождественно равный нулю). Поэтому множествоявляется линейным пространством над полем комплексных чисел. Множествомногочленов с действительными коэффициентами также является линейным пространством (но, разумеется, над полем действительных чисел). Множествомногочленов степени не выше, чем, с действительными коэффициентами также является вещественным линейным пространством. Заметим, что операция сложения много членов определена на этом множестве, так как степень суммы многочленов не превышает степеней слагаемых.

Множество многочленов степени не является линейным пространством, так как сумма таких многочленов может оказаться многочленом меньшей степени, не принадлежащим рассматриваемому множеству. Множество всех многочленов степени не выше, чем л, с положительными коэффициентами также не является линейным пространством, поскольку при умножении такого многочлена на отрицательное число получим многочлен, не принадлежащий этому множеству.

7. Обозначим — множество действительных функций, определенных и непрерывных на. Суммафункцийи произведениефункциина действительное числоопределяются равенствами:

 для всех 

Эти операции действительно определены на , так как сумма непрерывных функций и произведение непрерывной функции на число являются непрерывными функциями, т.е. элементами. Проверим выполнение аксиом линейного пространства. Из коммутативности сложения действительных чисел следует справедливость равенствадля любого. По этому, т.е. аксиома 1 выполняется. Аксиома 2 следует аналогично из ассоциативности сложения. Нулевым вектором служит функция, тождественно равная нулю, которая, разумеется, является непрерывной. Для любой функциивыполняется равенство, т.е. справедлива аксиома 3. Противоположным вектором для векторабудет функция. Тогда(аксиома 4 выполняется). Аксиомы 5, 6 следуют из дистрибутивности операций сложения и умножения действительных чисел, а аксиома 7 — из ассоциативности умножения чисел. Последняя аксиома выполняется, так как умножение на единицу не изменяет функцию:для любого, т.е.. Таким образом, рассматриваемое множествос введенными операциями является вещественным линейным пространством. Аналогично доказывается, что— множества функций, имеющих непрерывные производные первого, второго .и т.д. порядков соответственно, также являются линейными пространствами.

Обозначим — множество тригонометрических двучленов (часто ты) с действительными коэффициентами, т.е. множество функций вида, где. Сумма таких двучленов и про изведение двучлена на действительное число являются тригонометрическим двучленом. Аксиомы линейного пространства для рассматриваемого множества выполняются (так как). Поэтому множествос обычными для функций операциями сложения и умножения на число является вещественным линейным пространством. Нулевым элементом служит двучлен, тождественно равный нулю.

Множество действительных функций, определенных и монотонных на , не является линейным пространством, так как разность двух монотонных функций может оказаться немонотонной функцией.

8. Обозначим — множество действительных функций, определенных на множестве, с операциями:

Оно является вещественным линейным пространтвом (доказательство такое же, как в предыдущем примере). При этом множество может быть выбрано произвольно. В частности, если, то— упорядоченный набор чисел, гдеТакой набор можно считать матрицей-столбцом размеров, т.е. множествосовпадает с множеством(см. пункт 3 примеров линейных пространств). Если(напомним, что— множество натуральных чисел), то получаем линейное пространство— множество числовых последовательностей. В частности, множество сходящихся числовых последовательностей также образует линейное пространство, так как сумма двух сходящихся последовательностей сходится, и при умножении всех членов сходящейся последовательности на число получаем сходящуюся последовательность. Напротив, множество расходящихся последовательностей не является линейным пространством, так как, например, сумма расходящихся последовательностей может иметь предел.

9. Обозначим — множество положительных действительных чисел, в котором суммаи произведение(обозначения в этом примере отличаются от обычных) определены равенствами:, другими словами, сумма элементов понимается как произведение чисел, а умножение элемента на число — как возведение в степень. Обе операции действительно определены на множестве, так как произведение положительных чисел есть положительное число и любая действительная степень положительного числа есть положительное число. Проверим справедливость аксиом. Равенства

показывают, что аксиомы 1, 2 выполняются. Нулевым вектором данного множества является единица, так как , т.е.. Противоположным длявектором является вектор, который определен, так как. В самом деле,. Проверим выполнение аксиом 5, 6,7,8:

Все аксиомы выполняются. Следовательно, рассматриваемое множество является вещественным линейным пространством.

10. Пусть — вещественное линейное пространство. Рассмотрим множество определенных налинейных скалярных функций, т.е. функций, принимающих действительные значения и удовлетворяющих условиям:

 (аддитивность);

 (однородность).

Линейные операции над линейными функциями задаются также, как в пункте 8 примеров линейных пространств. Сумма и произведениеопределяются равенствами:

Выполнение аксиом линейного пространства подтверждается также, как в пункте 8. Поэтому множество линейных функций, определенных на линейном пространстве , является линейным пространством. Это пространство называется сопряженным к пространствуи обозначается. Его элементы называют ковекторами.

Например, множество линейных форм переменных, рассматриваемых как множество скалярных функций векторного аргумента, является линейным пространством, сопряженным к пространству.