37. Образ и ядро линейного оператора. Ранг линейного оператора.

Образ и ядро линейного оператора

Рассмотрим линейный оператор A, действующий в конечномерном линейном пространстве X. Доказано, что образ Im(A) линейного оператора линейное пространство. Размерность образа линейного оператора называется рангом оператора, обозначается  Rg(A) = r = dim( Im(A) ).

Ядром линейного оператора называется множество элементов из X, образом которых является нулевой элемент. Ядро оператора обозначают Ker(A) :  Ker(A) = {x e X : A(X) =0 } . Ядро линейного оператора линейное пространство; размерность ядра линейного оператора называется дефектом оператора, обозначается Def(A):   d = Def(A) = dim ( Ker(A) ) .

Для линейного оператора, действующего в n-мерном линейном пространстве X, справедливы следующие утверждения:

сумма ранга и дефекта оператора равно размерности пространства, в котором действует оператор:

Def(A) + Rg(A) = n; 

ранг оператора равен рангу его матрицы;

ядро оператора совпадает с множеством  решений линейной однородной системы с матрицей A, размерность пространства решений этой системы равна дефекту оператора, а ее фундаментальная система решений образует базис в ядре оператора;

столбцы, входящие в базисный минор матрицы оператора образуют базис в образе оператора.

Сформулированные утверждения позволяют описать структуру образа и ядра линейного оператора, заданного матрицей, используя язык матричных преобразований и общей теории линейных систем.