logo
Высшая математика (2 семестр) / otvety

39. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Их свойства

Собственные значения и собственные векторы линейного оператора

Пусть A - линейный оператор, действующий в линейном пространстве.

Число  называется собственным значением, а ненулевой вектор X - соответствующим собственным вектором линейного оператора A, если они связаны между собой соотношением A x =  x .

Пусть A матрица оператора в некотором базисе.

Собственные значения оператора и соответствующие им собственные векторы связаны соотношением (A - E ) x = 0 , где E -  единичная матрица, а 0 - нулевой элемент пространства X. Это означает, что собственный вектор оператора является ненулевым решением линейной однородной системы (A - E ) x = 0 , которое существует тогда и только тогда, когда det (A - E ) = 0 . Следовательно,  собственные  значения  линейного оператора могут быть вычислены как корни уравнения det (A - E ) = 0 , а собственные векторы -- как решения соответствующих однородных систем.

Уравнение det (A - E ) = 0  называется характеристическим уравнением оператора, а многочлен det (A - E )  характеристическим многочленом оператора.

Для собственных значений и собственных векторов линейного оператора справедливы следующие утверждения:

характеристический многочлен оператора, действующего в n-мерном линейном пространстве является многочленом  n-й степени относительно ;

линейный оператор, действующий в n-мерном линейном пространстве имеет не более n различных собственных значений;

собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы;

если линейный оператор, действующий в  n-мерном линейном пространстве X, имеет n различных собственных значений, то собственные векторы оператора образуют базис в пространстве X; этот базис называютсобственным базисом оператора;

матрица оператора в базисе из его собственных векторов имеет диагональную форму с собственными значениями на диагонали.