18. Матрицы. Линейные операции над матрицами, их свойства.

Определение матрицы

Рассмотрим важные математические объекты — матрицы.

Матрицей размером называется совокупностьчисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы изстрок истолбцов:

 или 

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы: — элемент матрицы, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца матрицы. Всюду далее предполагаются, что элементы матриц являются действительными числами, если не оговорено противное.

Пример 1.1. Определить размеры матриц

Решение. Матрица имеет размеры, а матрица.

Две матрицы иназываютсяравными , если они имеют одинаковые размерыи равные соответствующие элементы:.

Типы и виды матриц

В общем случае матрицу (размеров ) называютпрямоугольной. В частности, если матрица состоит из одного столбца или одной строки, то она называетсяматрицей-столбцом или матрицей-строкой (либо просто столбцом или строкой) соответственно. Матрицы-строки или матрицы-столбцы часто обозначают строчными буквами (в примере 1.1: — строка,— столбец). Матрица размеров— это просто число (единственный элемент матрицы).

Если у матрицы количество строк равно количеству столбцов, то матрицу называютквадратной (n-го порядка). Элементы образуют главную диагональ квадратной матрицы (ей соответствует штриховая линия на рис. 1.1, соединяющая левый верхний угол матрицы (элемент) с правым нижним углом (элемент)). Диагональ, соединяющая левый нижний угол (элемент) с правым верхним углом (элемент), называетсяпобочной.

Квадратная матрица вида

у которой все элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю, называется диагональной и обозначается . Частным случаем диагональной матрицы служит квадратная матрица

которая называется единичной (n-го порядка) и обозначается (или ).

Если все элементы квадратной матрицы, расположенные ниже (выше) главной диагонали, равны нулю, то матрицу называют верхней треугольной(нижней треугольной). На рис. 1.2 изображены диагональная и треугольные матрицы (здесь и далее будем полагать, что в частях матрицы, помеченных символом , все элементы равны нулю, а в частях, помеченных символом* и линиями, элементы матрицы могут быть произвольными). Заметим, что диагональная матрица, в частности единичная, является одновременно верхней и нижней треугольной.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой.

Пример 1.2. Определить типы матриц

Решение. Матрица — прямоугольная размеров, нулевая; матрица-верхняя треугольная третьего порядка;— нижняя треугольная второго порядка;— квадратная второго порядка, нулевая;— единичная второго порядка;— единичная третьего порядка;— нижняя треугольная третьего порядка;— диагональная третьего порядка.

Сложение матриц

Пусть и— матрицы одинаковых размеров. Матрицатех же размеровназываетсясуммой матриц и, если ее элементы равны сумме соответствующих элементов матрици:. Сумма матриц обозначается. Операция сложения матриц определена только для матриц одинаковых размеров и выполняется поэлементно:

Из определения следует, что складывать можно только матрицы одинаковых размеров. Нельзя, например, найти суммы вида

 или 

Пример 1.3. Найти сумму двух матриц .

Решение. Складывая соответствующие элементы матриц, получаем

Умножение матрицы на число

Произведением матрицы на число называется матрицатех же размеров, что и матрица, каждый элемент которой равен произведению числана соответствующий элемент матрицы

Произведение обозначается или. Операция умножения матрицы на число выполняется поэлементно:

Умножить на число можно любую матрицу, при этом каждый ее элемент умножается на это число

Пример 1.4. Найти произведение матрицы на число 2.

Решение. Умножая на 2 каждый элемент матрицы , получаем

Матрица называется противоположной матрицеи обозначается. Сумма матрициназывается разностью матриц и обозначается. Для нахождения разности матрицследует из элементов матрицывычесть соответствующие элементы матрицы. Вычитать можно только матрицы одинаковых размеров.

Пример 1.5. Даны матрицы . Найти разностии.

Решение. Вычитая друг из друга соответствующие элементы, находим

Свойства линейных операций над матрицами

Операции сложения матриц и умножения матрицы на число называются линейными операциями над матрицами. Непосредственно из определений вытекают следующие свойства линейных операций.

Для любых матриц одинаковых размеров и любых чиселсправедливы равенства:

1. (коммутативность сложения);

2. (ассоциативность сложения);

3. существует нулевая матрица (тех же размеров, что и):;

4. существует матрица , противоположная матрице;

5. ;

6. ;

7. ;

8. .

Замечание 1.1. Свойства 5 и 6 определяют законы дистрибутивности: умножение матрицы на число дистрибутивно по отношению к сложению матриц (свойство 5); умножение матрицы на число дистрибутивно по отношению к сложению чисел (свойство 6).