21. Матричные уравнения. Теорема существования и единственности решения.

Рассмотрим матричное уравнение вида

где и — данные матрицы, имеющие одинаковое количество строк, причем матрица квадратная. Требуется найти матрицу , удовлетворяющую уравнению (4.5).

Теорема 4.2 о существовании и единственности решения матричного уравнения (4.5). Если определитель матрицы отличен от нуля, то матричное уравнение (4.5) имеет единственное решение.

В самом деле, подставляя в левую часть равенства (4.5), получаем, т.е. правую часть этого равенства.

Заметим, что решением матричного уравнения служит обратная матрица.

Рассмотрим также матричное уравнение вида

где и — данные матрицы, имеющие одинаковое количество столбцов, причем матрица квадратная. Требуется найти матрицу , удовлетворяющую уравнению (4.6).

Теорема 4.3 о существовании и единственности решения матричного уравнения (4.6). Если определитель матрицы отличен от нуля, то уравнение (4.6) имеет единственное решение.

Заметим, что матрица является как бы "левым" частным от "деления" матрицына матрицу, поскольку матрицав (4.5) умножается наслева, а матрица— "правым" частным, так как матрицав (4.6) умножается насправа.

Пример 4.5. Даны матрицы

Решить уравнения: а) ; б); в).

Решение. Обратная матрица была найдена в примере 4.2.

а) Решение уравнения находим, умножая обе его части слева на

б) Уравнение не имеет решений, так как матрицы иимеют разное количество столбцов.

в) Решение уравнения находим, умножая обе его части справа на

Пример 4.6. Решить уравнение: , где.

Решение. Преобразуя левую часть уравнения:

приведем его к виду (4.1)

 где 

Следовательно, . Обратная матрица найдена в примере 4.2:

 Значит, 

Пример 4.7. Решить уравнение , где

Решение. Обратные матрицы были найдены в примерах 4.2, 4.3 соответственно. Решение уравнения находим по формуле

Пример 4.8. Решить уравнение , где

Решение. Определитель матрицы равен нулю, следовательно, обратная матрица не существует. Поэтому нельзя использовать формулу. Будем искать элементы матрицы. Подставляя в уравнение, получаем

Находим произведение, а затем приравниваем соответствующие элементы матриц в левой и правой частях уравнения:

Здесь, учитывая пропорциональность уравнений, в системе оставлены только два уравнения из четырех. Выразим неизвестные и

Следовательно, решение матричного уравнения имеет вид

где параметры и могут принимать любые значения. Таким образом, данное матричное уравнение имеет бесконечное множество решений.