71. Экстремумы функции. Необходимое условие существования экстремума.

Экстре́мум (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. Вматематическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).

Определения

Пусть дана функция и— внутренняя точка области определенияТогда

•  называется точкой локального максимума функции если существует проколотая окрестностьтакая, что

•  называется точкой локального минимума функции если существует проколотая окрестностьтакая, что

Если неравенства выше строгие, то называется точкой строгого локального максимума или минимума соответственно.

•  называется точкой абсолютного (глобального) максимума, если

•  называется точкой абсолютного минимума, если

Значение функции называют (строгим) (локальным) максимумом или минимумом в зависимости от ситуации. Точки, являющиеся точками (локального) максимума или минимума, называются точками (локального) экстремума.

Замечание

Функция определённая на множествеможет не иметь на нём ни одного локального или абсолютного экстремума. Например,

Необходимые условия существования локальных экстремумов

• Из леммы Ферма вытекает следующее:

Пусть точка является точкой экстремума функции, определенной в некоторой окрестности точки.

Тогда либо производная не существует, либо.

(Математический Анализ. Том 1. Л. Д. Кудрявцев. Москва «Высшая Школа» 1973 г.)