53. Односторонние пределы функции в точке. Односторонняя непрерывность функции в точке.

Определение. Предела слева (справа)

Число А(В) по определению называется пределом функции f(x) в точке х₀ слева (справа), если

>0   >0 : x из x₀-<x<x₀ (x₀<x<x₀+)

               f(x)-A< (f(x)-B<),

при этом пишут:   

Пример.

Справедлив критерий 2 существования предела функции в точке.

Теорема.

Для того, чтобы у функции f(x) существовал предел при хх₀ необходимо и достаточно, чтобы существовал левосторонний предел в т. х₀, существовал правосторонний предел в т. х₀ и они были бы равны между собой.

Определение. Непрерывности функции слева (справа).

Функция f(x) определенная в левосторонней окрестности т. х₀ (или в правосторонней окрестности т.х₀)  и в самой точке х₀ называется непрерывной в т. х₀ слева (справа), если

       >0 >0 : x из x₀-<xx₀ (x₀x<x₀+)

           f(x)-f(x₀-0)< (f(x)-f(x₀+0)<)

При этом значения f(x₀-0) (f(x₀+0)) называют значениями функции в точке х₀ слева (справа).

Пример .

  f(-0)=0.

Теорема. Критерий непрерывности функции в точке.

Для того чтобы функция f(x) была непрерывной в т. х₀ необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна слева в т. х₀, справа в т. х₀ и при этом выполнялось соотношение :

                 f(x₀-0)=f(x₀+0)=f(x₀)