Общее уравнение прямой - основные сведения.

Пусть на плоскости введена прямоугольная декартова система координат Оxy.

Теорема.

Всякое уравнение первой степени вида , где А, В и С – некоторые действительные числа, причем А и В одновременно не равны нулю, задает прямую линию в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости, и любая прямая в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости задается уравнением вида при некотором наборе значений A, B и C.

Доказательство.

Как видите, теорема состоит из двух частей. Докажем сначала, что уравнение вида задает прямую на плоскости.

Пусть координаты точки удовлетворяют уравнению , то есть, . Вычтем из левой и правой частей уравнения соответственно левую и правую части равенства , при этом получаем уравнение вида , которое эквивалентно .

Уравнение представляет собой необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов и . То есть, множество всех точек определяет в прямоугольной системе координат Oxy прямую линию, перпендикулярную направлению вектора . Если бы это было не так, то векторы и не были бы перпендикулярными и равенство не выполнялось бы.

Таким образом, уравнение задает прямую линию в прямоугольной декартовой системе координат Oxy на плоскости, следовательно, эквивалентное ему уравнение вида задает эту же прямую. На этом первая часть теоремы доказана.

Теперь докажем, что всякая прямая в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости определяется уравнением первой степени вида .

Пусть в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости задана прямая a, проходящая через точку , - нормальный вектор прямой a, и пусть - плавающая точка этой прямой. Тогда векторы и перпендикулярны, следовательно, их скалярное произведениеравно нулю, то есть, . Полученное равенство можно переписать в виде . Если принять , то получим уравнение , которое соответствует прямой a.

На этом доказательство теоремы завершено.

Уравнение вида есть общее уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy.

Из доказанной теоремы следует, что в фиксированной прямоугольной декартовой системе координат Oxy на плоскости прямая линия и ее общее уравнение прямой неразделимы. Иными словами, заданной прямой соответствует ее общее уравнение прямой, а этому общему уравнению прямой соответствует заданная прямая.

Из доказательства теоремы также видно, что коэффициенты А и В при переменных x и yявляются соответствующими координатами нормального вектора прямой, заданной общим уравнением прямой вида .

Приведем пример общего уравнения прямой.

Уравнению соответствует прямая линия в заданной прямоугольной декартовой системе координат Oxy. Ее изображение представлено на чертеже. Нормальным вектором этой прямой линии является вектор .

С другой стороны, прямая линия, изображенная на рисунке, в прямоугольной системе координат Oxy задается общим уравнением прямой вида , так как координаты любой точки этой прямой удовлетворяют записанному уравнению.

Следует заметить, что уравнение вида , полученное из общего уравнения прямой умножением его обеих частей на отличное от нуля число , эквивалентно уравнению , следовательно, определяет ту же самую прямую на плоскости в фиксированной прямоугольной системе координат.