25. Базисный минор. Теорема о базисном миноре. Теорема о ранге.

Определение. Ранг матрицы А - максимальный порядок неравного нулю минора (минор - определитель квадратной матрицы ). Обозначается.

Определение. Минор, определяющий ранг матрицы, называется Базисным минором. Строки и столбцы, формирующие БМ, назвыаются базисными строками и столбцами.

Определение. Система столбцов называется линейно зависимойчисла, не все равные нулю и такие что:

Теорема о базисном миноре.  Столбцы матрицы А, входящие в БМ, образуют линейно независимую систему. Любой столбец матрицы А линейно выражается через столбцы из БМ.

Доказательство. Предположим противное - система длинных столбцов линейно зависима система коротких столбцов (входящих в длинные)линейно зависима (по свойству определителя

БМПротиворечие, т.к. БМ.

Без ограничения общности считаем, что базисный минор расположен в левом верхнем углу. Покажем, что -ый столбец линейно выражается через столбцы из БМ.(иначе он сам является столбцом из БМ). Рассмотрим минор порядка на один больше, он будет нулевой.

Фиксируем . Раскладываем определитель по-ой строке:

 так как минор порядка - нулевой (где- БМ. Выражаем:Получены коэффициенты. Для любого:(так как- любое)

Следствие. Если все столбцы матрицы А линейно выражаются через r столбцов , которые образуют линейно независимую систему, то.

Доказательство. Столбцы входящие в максимальную линейно независимую систему (в кол-ве штук) линейно выражаются через. столбцы(в кол-ве r штук) линейно выражаются через максимальную линейно независимую систему в кол-ве.

Теорема о ранге матрицы.  Ранг матрицы А равен максимальному числу линейно независимых столбцов (или равен рангу системы столбцов матрицы А).

Доказательство. Пусть - столбцы, не входящие в БМ и они - максимальная линейно независимая система. ранг системы столбцов(число столбцов входящих в максимальную линейно независимую систему )по утверждению 1 (если система линейно независима (количество) и выражается через другую (количество) то). по утверждению 1 и утверждению 2 (все максимальные линейно независимые системы состоят из одного и тогоже числа столбцов) и в силу того, что все столбцы линейно выражаются через столбцы максимальной линейно независимой системы