27. Однородные системы линейных уравнений. Свойства их решений. Общее решение ослу.

Однородная система линейных уравнений

 или 

всегда совместна, так как имеет тривиальное решение . Если ранг матрицы системы равен количеству неизвестных, то тривиальное решение единственное. Предположим, что. Тогда однородная система имеет бесконечно много решений. Заметим, что расширенная матрицаоднородной системы при элементарных преобразованиях строк приводится к упрощенному виду, т.е.. Поэтому из (5.11) получаемобщее решение однородной системы уравнений:

Получим другую форму записи решений однородной системы, которая раскрывает структуру множества решений. Для этого подчеркнем следующие свойства.

Свойства решений однородной системы уравнений

1. Если столбцы — решения однородной системы уравнений, то любая их линейная комбинациятакже является решением однородной системы.

В самом деле, из равенств следует, что

т.е. линейная комбинация решений является решением однородной системы.

2. Если ранг матрицы однородной системы равен , то система имеетлинейно независимых решений.

Действительно, по формулам (5.13) общего решения однородной системы найдем частных решений, придавая свободным переменным следующиестандартные наборы значений (всякий раз полагая, что одна из свободных переменных равна единице, а остальные — равны нулю):

Получим решений

которые линейно независимы. В самом деле, если из этих столбцов составить матрицу, то последние ее строк образуют единичную матрицу. Следовательно, минор, расположенный в последних строках не равен нулю (он равен единице), т.е. является базисным. Поэтому ранг матрицы будет равен . Значит, все столбцы этой матрицы линейно независимы (см. теорему 3.4).

Любая совокупность линейно независимых решенийоднородной системы называетсяфундаментальной системой (совокупностью) решений.

Заметим, что фундаментальная система решений определяется неоднозначно. Однородная система может иметь разные фундаментальные системы решений, состоящие из одного и того же количества линейно независимых решений.

Теорема 5.3 об общем решении однородной системы. Если — фундаментальная система решений однородной системы уравнений (5.4), то столбец

при любых значениях произвольных постоянных также является решением системы (5.4), и, наоборот, для каждого решения х этой системы найдутся такие значения произвольных постоянных, при которых это решениеудовлетворяет равенству (5.14).

Прямое утверждение теоремы следует из свойства 1 решений однородной системы. Докажем обратное утверждение о том, что любое решение можно представить в виде (5.14). Для этого составим матрицу, приписав к столбцам фундаментальной системы решений столбец

Найдем ранг этой матрицы. Так как первые столбцов линейно независимы, то. Так как каждый из столбцов матрицыявляется решением системы, то по первой формуле из (5.13) получаем

Следовательно, первая строка матрицы является линейной комбинацией последнихстрок этой матрицы.

По второй формуле из (5.13) получим, что вторая строка матрицы является линейной комбинацией последнихстрок этой матрицы, и т.д. По r-й формуле из (5.13) получим, что r-я строка матрицыявляется линейной комбинацией последнихстрок этой матрицы. Значит, первыестрок матрицыможно вычеркнуть и при этом ранг матрицы не изменится. Следовательно,, так как после вычеркивания в матрицебудет всегострок. Таким образом,. Значит, есть базисный минор матрицы, который расположен в первыхее столбцах, а столбецне входит в этот базисный минор. Тогда по теореме о базисном миноре найдутся такие числа, чтоИтак, обратное утверждение доказано.