57. Дифференцируемость функции. Критерий дифференцируемости функции в точке.

Функция называетсядифференцируемой в точке , предельной для множестваE, если ее приращение Δf(x₀), соответствующее приращению аргумента x, может быть представлено в виде

Δf(x₀) = A(x₀)(x - x₀) + ω(x - x₀),     (1)

где ω(x - x₀) = о(x - x₀) при x → x₀.

Отображение , называетсядифференциалом функции f в точке x₀, а величина A(x₀)h - значением дифференциала в этой точке.

Для значения дифференциала функции f принято обозначение df или df(x₀), если требуется знать, в какой именно точке он вычислен. Таким образом,

df(x₀) = A(x₀)h.

Разделив в (1) на x - x₀ и устремив x к x₀, получим A(x₀) = f'(x₀). Поэтому имеем

df(x₀) = f'(x₀)h.     (2)

Сопоставив (1) и (2), видим, что значение дифференциала df(x₀) (при f'(x₀) ≠ 0) есть главная часть приращения функции f в точке x₀, линейная и однородная в то же время относительно приращения h = x - x₀.

Критерий дифференцируемости функции

Для того чтобы функция f являлась дифференцируемой в данной точке x₀, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.