76. Метод замены переменных в неопределенном интеграле.

Пусть . Тогда. Здесьt(x) - дифференцируемая монотонная функция. Док-во непосредственно следует из формулы для производной сложной функции. Перепишем первый интеграл, заменив переменную x на t: . Это означает, что. Заменим независимую переменнуюt на функцию t = t(x): . Следовательно, функцияF(t(x)) является первообразной для произведения , или.

При решении задач замену переменной можно выполнить двумя способами.  1. Если в подынтегральной функции удаётся сразу заметить оба сомножителя, иf(t(x)), и , то замена переменной осуществляется подведением множителяпод знак дифференциала:, и задача сводится к вычислению интеграла. Например,(задача сведена к вычислению, гдеt = cos x) (аналогично находится интеграл от);(задача сведена к вычислению, гдеt = sin x) . В более сложных задачах операция подведения под знак дифференциала может выполняться несколько раз:(самое неприятное в подынтегральной функции - пятая степень арккотангенса под знаком экспоненты; если дальше не найдётся дифференциал этой функции, то интеграл, возможно, взять вообще не удастся; в то же время следующий множитель (arcctg⁴ x²) - производная (с точностью до постоянного множителя) степенной функции; затем следуют производные (опять с точностью до постоянных множителей) функций arcctg x² и x² по своим аргументам) 

.

2. Замену переменной можно осуществлять формальным сведением подынтегрального выражения к новой переменной. Так, в имеет смысл перейти к переменной (сделать подстановку)t = sin x. Выражаем все множители подынтегрального выражения через переменную t: ; в результате(возвращаемся к исходной переменной). Другие примеры:. Подынтегральная функция содержит два множителя, ни один из которых не является производной другого, поэтому подводить их под знак дифференциала бесполезно. Попытаемся ввести новую переменную, такую, чтобы корни извлеклись:=.Рассмотрим(интеграл №19 изтабл. 10.3.неопределённых интегралов). Здесь подынтегральная функция состоит из единственного множителя; можно опять попытаться сделать такую замену переменной, чтобы корень извлёкся. Структура подкоренного выражения подсказывает эту замену: (или,):. Интеграл свёлся к интегралу от квадрата косинуса. При интегрировании чётных степеней синуса и косинуса часто применяются формулы, выражающиеичерез косинус двойного угла:.Поэтому.Искусство интегрирования в основном заключается в умении видеть необходимые подстановки; оно, как и любое другое искусство, вырабатывается упражнениями. Для основных классов функций требуемые подстановки будут изучаться дальше, здесь мы покажем, с помощью каких преобразований были выведены формулы 17, 15, 20Таблицы 10.3.неопределённых интегралов:  17. .

15. 

.

20. 

. Второй интеграл элементарно сводится к первому: .