35. Евклидово пространство. Определение, примеры. Модуль вектора. Угол между векторами. Неравенство Коши-Буняковского.

Определение. В линейном пространстве V задано скалярное произведение векторов, если имеется правило, по которому любым двум векторам исопоставляется число, удовлетворяющее следующим четырем аксиомам:

1. =;

2. =;

3. =+;

4. , если; и если, то

Из аксиом вытекают следующие свойства скалярного произведения:

1. =;

2. =+.

Определение. Линейное пространство, на котором задано скалярное произведение векторов, называется евклидовым пространством. n-мерное евклидово пространство обозначается .

При вn-мерном пространстве можно определить скалярное умножение, т.е. можно превратить это пространство в евклидово.

Пример. Пространство , на котором задано скалярное произведение векторовиформулой

,

будет евклидовым. Выполнение аксиом очевидно.

 Из школьного курса известно, что для векторов из  справедливо равенство:

=, откуда.

Эти равенства подсказывают нам,  как  разумным способом определить в (n>3) понятие модуля вектора и угла между векторами.

Определение.  Для векторов в модуль  вектора икосинус угла между векторами иопределяется следующими формулами:

   .

Т.к. ,  то нам необходимо доказать, что,  или.

Это следует из следующего неравенства:

Неравенство Коши - Буняковского: Для любых двух векторов ивсправедливо неравенство.

Доказательство. Возьмем какое-нибудь число и составим вектор. ТогдаОбозначим,,, тогдаТак както дискриминант квадратного трехчленат.е.,. Заменяяна скалярные произведения, получаем,  что и требовалось доказать.

Следствие 1.  Для исправедливо соотношение

Следствие 2. Для исправедливонеравенство треугольника:

Доказательство. . Извлекаем корень из обеих частей неравенства, получаем