54. Точки разрыва функции и их классификация.

Определение. Разрывной функции в т. x₀.

Функция f(x) не являющаяся непрерывной в т. x₀ называется разрывной в т. x₀.

При этом точки разрыва функции подразделяются на точки разрыва I рода и II рода.

Определение. Точка разрыва I рода.

Если у функции f(x)   и они конечны, то говорят, что точка x₀- точка разрыва первого рода.

При этом, если , то говорят, что точкаx₀- точка устранимого разрыва.

Если же , то говорят, что точкаx₀- точка разрыва с конечным скачком.

-разрывная функция. 

Если положить -  то произойдет устранение разрыва и функция станет непрерывной.

У функции так как

- имеется конечный скачок.

Определение. Точка разрыва II рода.

Если у функции f(x) хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен , то говорят, что т. х₀- точка разрыва II рода.

Пример

Если устремить х к 0 разными способами, то получим различные значения пределов:

,  kN,   x0 , а  ;

 kN, x0 , а   ,

значит функция f(x) не имеет предела â т. х₀=0, то есть т. х₀ точка разрыва II рода.