27. Однородные системы линейных уравнений. Свойства их решений. Общее решение ослу.
Однородная система линейных уравнений
или
всегда совместна, так как имеет тривиальное решение . Если ранг матрицы системы равен количеству неизвестных, то тривиальное решение единственное. Предположим, что. Тогда однородная система имеет бесконечно много решений. Заметим, что расширенная матрицаоднородной системы при элементарных преобразованиях строк приводится к упрощенному виду, т.е.. Поэтому из (5.11) получаемобщее решение однородной системы уравнений:
(5.13) |
Получим другую форму записи решений однородной системы, которая раскрывает структуру множества решений. Для этого подчеркнем следующие свойства.
Свойства решений однородной системы уравнений
1. Если столбцы — решения однородной системы уравнений, то любая их линейная комбинациятакже является решением однородной системы.
В самом деле, из равенств следует, что
т.е. линейная комбинация решений является решением однородной системы.
2. Если ранг матрицы однородной системы равен , то система имеетлинейно независимых решений.
Действительно, по формулам (5.13) общего решения однородной системы найдем частных решений, придавая свободным переменным следующиестандартные наборы значений (всякий раз полагая, что одна из свободных переменных равна единице, а остальные — равны нулю):
Получим решений
которые линейно независимы. В самом деле, если из этих столбцов составить матрицу, то последние ее строк образуют единичную матрицу. Следовательно, минор, расположенный в последних строках не равен нулю (он равен единице), т.е. является базисным. Поэтому ранг матрицы будет равен . Значит, все столбцы этой матрицы линейно независимы (см. теорему 3.4).
Любая совокупность линейно независимых решенийоднородной системы называетсяфундаментальной системой (совокупностью) решений.
Заметим, что фундаментальная система решений определяется неоднозначно. Однородная система может иметь разные фундаментальные системы решений, состоящие из одного и того же количества линейно независимых решений.
Теорема 5.3 об общем решении однородной системы. Если — фундаментальная система решений однородной системы уравнений (5.4), то столбец
(5.14) |
при любых значениях произвольных постоянных также является решением системы (5.4), и, наоборот, для каждого решения х этой системы найдутся такие значения произвольных постоянных, при которых это решениеудовлетворяет равенству (5.14).
Прямое утверждение теоремы следует из свойства 1 решений однородной системы. Докажем обратное утверждение о том, что любое решение можно представить в виде (5.14). Для этого составим матрицу, приписав к столбцам фундаментальной системы решений столбец
Найдем ранг этой матрицы. Так как первые столбцов линейно независимы, то. Так как каждый из столбцов матрицыявляется решением системы, то по первой формуле из (5.13) получаем
Следовательно, первая строка матрицы является линейной комбинацией последнихстрок этой матрицы.
По второй формуле из (5.13) получим, что вторая строка матрицы является линейной комбинацией последнихстрок этой матрицы, и т.д. По r-й формуле из (5.13) получим, что r-я строка матрицыявляется линейной комбинацией последнихстрок этой матрицы. Значит, первыестрок матрицыможно вычеркнуть и при этом ранг матрицы не изменится. Следовательно,, так как после вычеркивания в матрицебудет всегострок. Таким образом,. Значит, есть базисный минор матрицы, который расположен в первыхее столбцах, а столбецне входит в этот базисный минор. Тогда по теореме о базисном миноре найдутся такие числа, чтоИтак, обратное утверждение доказано.
- Свойства
- [Править]Неравенство Коши — Буняковского
- Нормальное уравнение плоскости.
- Общее уравнение прямой - основные сведения.
- Переход от общего уравнения прямой
- 13,14,15,16 В отдельном файле
- 17. Цилиндрические поверхности с образующей, параллельной одной из координатных осей.
- 18. Матрицы. Линейные операции над матрицами, их свойства.
- 19. Нелинейные операции над матрицами (умножение, транспонирование), их свойства. Умножение матриц
- Транспонирование и эрмитово сопряжение
- 20. Обратная матрица. Теорема существования, единственность, свойства.
- 21. Матричные уравнения. Теорема существования и единственности решения.
- 22. Решение системы линейных уравнений матричным методом. Правило Крамера.
- 23. Ранг матрицы. Свойства ранга.
- 24. Линейная зависимость столбцов матрицы. Свойства Линейная зависимость и независимость строк (столбцов) матрицы
- Свойства линейно зависимых и линейно независимых столбцов матриц
- 25. Базисный минор. Теорема о базисном миноре. Теорема о ранге.
- 26. Системы линейных уравнений. Теорема Кронекера - Капелли о совместимости систем.
- 27. Однородные системы линейных уравнений. Свойства их решений. Общее решение ослу.
- 28. Фундаментальная система решений ослу
- 29. Неоднородные системы линейных уравнений. Свойства их решений. Построение общего решения нслу.
- 30. Линейные пространства. Определение. Примеры, следствия из аксиом.
- 31. Линейная зависимость векторов линейного пространства. Свойства
- 32. Базис линейного пространства. Размерность
- 33. Единственность разложения векторов по базису. Координаты. Действия над векторами в координатной форме.
- 34. Изменение координат вектора при переходе к новому базису. Матрица перехода.
- 35. Евклидово пространство. Определение, примеры. Модуль вектора. Угол между векторами. Неравенство Коши-Буняковского.
- 36. Линейный оператор. Матрица линейного оператора. Изменение матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.
- 37. Образ и ядро линейного оператора. Ранг линейного оператора.
- 38.В отдельном файле.
- 39. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Их свойства
- 40. Последовательность. Предел последовательности. Ограниченные, неограниченные, бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Определение
- [Править]Примеры
- [Править]Операции над последовательностями
- [Править]Подпоследовательности
- [Править]Примеры
- [Править]Свойства
- [Править]Предельная точка последовательности
- [Править]Предел последовательности
- [Править]Некоторые виды последовательностей
- [Править]Ограниченные и неограниченные последовательности
- [Править]Критерий ограниченности числовой последовательности
- [Править]Свойства ограниченных последовательностей
- [Править]Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности
- [Править]Свойства бесконечно малых последовательностей
- [Править]Сходящиеся и расходящиеся последовательности
- [Править]Свойства сходящихся последовательностей
- 41. Понятие функции. Способы задания функции.
- 42. Предел функции в точке, в бесконечности. Геометрическая интерпретация. Определения и примеры.
- 43. Теоремы о пределах:
- 44. Непрерывные функции и их свойства:
- Свойства Локальные
- Глобальные
- Теорема о сохранении знака для непрерывной функции
- Доказательство
- 45. Первый замечательный предел. Следствия. Теорема о пределе суммы, произведения и частного.
- 46. Ограниченные функции и их свойства. Необходимое условие существования предела функции в точке.
- 47. Бесконечно малые функции, их свойства. Леммы
- Леммы о бесконечно малых
- 48. Критерий существования предела функции в точке.
- 49. Бесконечно большие функции, связь с бесконечно малыми функциями.
- 50. Раскрытие неопределенностей. Второй замечательный предел.
- 51. Эквивалентные бесконечно малые функции. Таблица эквивалентных бесконечно малых функций.
- 52. Теорема о применении эквивалентных бесконечно малых к вычислению пределов.
- 3.2. Основные формулы эквивалентности бесконечно малых.
- 53. Односторонние пределы функции в точке. Односторонняя непрерывность функции в точке.
- 54. Точки разрыва функции и их классификация.
- 55. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
- 56. Задачи, приводящие к понятию производной. Понятие производной. Геометрический и физический смысл производной.
- 1.1 Задачи, приводящие к понятию производной
- , Если .
- 57. Дифференцируемость функции. Критерий дифференцируемости функции в точке.
- 57. Дифференцируемость функции. Критерий дифференцируемости функции в точке.
- 58. Производная сложной функции.
- 59. Дифференциал функции. Инвариантность формы записи первого дифференциала.
- 60. Обратная функция и ее производная.
- 60. Обратная функция и ее производная.
- 61. Правила дифференцирования.
- 63. Логарифмическое дифференцирование. Производная степенно-показательной функции.
- 5.4. Производная степенно-показательной функции
- 64. См. Отдельный файл.
- 65. Теоремы о среднем – Ферма, Ролля.
- 66. Теоремы о среднем – Лагранжа, Коши.
- 67. Дифференциалы высших порядков. Неинвариантность формы записи.
- 68. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей с использованием правила Лопиталя.
- 69. Формула Тейлора. Разложение функции по формуле Тейлора.
- 70. Монотонность функции. Условия монотонности.
- 71. Экстремумы функции. Необходимое условие существования экстремума.
- 72. Достаточные условия экстремума.
- 73. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.
- 74. Асимптоты графика.
- [Править]Виды асимптот графиков [править]Вертикальная
- [Править]Горизонтальная
- [Править]Наклонная
- [Править]Нахождение асимптот
- 76. Метод замены переменных в неопределенном интеграле.
- 77. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле. Классы функций, интегрируемых по частям.
- 78. Рациональные дроби. Разложение рациональных дробей на сумму простейших.
- 79. Интегрирование простейших рациональных дробей.
- 80. Интегрирование тригонометрических функций.
- 81. Интегрирование иррациональностей вида…
- 82. Интегрирование иррациональностей вида…
- 83. Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл и свойства. Теорема о среднем.
- 84. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.
- 85. Полярная система координат. Уравнения кривых в полярной системе координат.
- Уравнение кривых в полярных координатах
- Окружность
- Полярная роза
- Спираль Архимеда
- Конические сечения
- 86. Вычисление определенного интеграла. Применение его к вычислению площадей плоских фигур, длины дуги кривой.
- 87. Вычисление объемов тел, объемов тел вращения.
- 88. Приложение определенного интеграла к задачам физики.
- 89. Несобственные интегралы I рода.
- 89. Несобственные интегралы I рода.
- Несобственные интегралы I рода
- Геометрический смысл несобственного интеграла I рода
- Примеры
- 90. Несобственные интегралы II рода.
- Геометрический смысл несобственных интегралов II рода