32. Базис линейного пространства. Размерность

Пусть X — линейное пространство.

Определение. Если существует натуральное число n такое, что X содержит линейно независимую систему из n векторов, а любая система из n+ 1 вектора линейно зависима, то X называется n –мерным линейным пространством, а число n – его размерностью.

Будем обозначать n –мерное линейное пространство X_n , где n = dimX_n — размерность пространства X_n .

Из определения следует, что размерность линейного пространства равна максимальному количеству линейно независимых векторов.

Замечания.

1. Размерность пространства, состоящего только из одного нулевого вектора, равна нулю. Такое пространство называется тривиальным.

2. Если в линейном пространстве существует любое число линейно независимых векторов, то такое пространство называетсябесконечномерным. Мы будем рассматривать, в основном, конечномерные линейные пространства. Бесконечномерные пространства являются предметом специального изучения.

Определение. Упорядоченная система векторов e₁, e₂, … , e_n  X называется базисом в X , если

• система векторов e₁, e₂, … , e_n линейно независима;

• любой вектор x пространства X может быть представлен в виде

  x = ξ1e1 + ξ2e2 + … + ξnen.

  (1)

• Выражение (1) называется разложением вектора x по базису e₁, e₂, … , e_n .

• Коэффициенты ξ₁, ξ₂, … , ξ_n в разложении векторапо данному базису определяются однозначно.

• Доказательство см. в книге О.В. Зиминой ``Линейная алгебра и аналитическая геометрия" (Москва, Изд–во МЭИ, 2000, стр.42).

• Коэффициенты разложения (1) вектора x по базису e₁, e₂, … , e_n называются координатами вектора x в этом базисе.

• Удобно использовать обозначение для i –ой координаты ξ_i = e_i, x и для вектора x = {ξ₁, ξ₂, … , ξ_n} . Координаты вектора записывают также в виде матрицы–столбца

  	      	ξ1 ξ2 … ξn	      

• который называется координатным столбцом вектора x .

• В n–мерном линейном пространстве X_n существует базис. Он содержит n векторов.

• Доказательство см. в книге О.В. Зиминой ``Линейная алгебра и аналитическая геометрия" (Москва, Изд–во МЭИ, 2000, стр.43).

• Замечания.

• 1. В линейном пространстве существует бесчисленное множество базисов.

• 2. В бесконечномерном пространстве всегда существует базис. Он содержит бесконечное множество векторов. Подробнее о базисах в бесконечномерных пространствах можно прочитать, например, в книге "Функциональный анализ" под ред. С.Г. Крейна (М.: Наука, 1972).

• 3. Любая упорядоченная линейно независимая система из n векторов в n–мерном пространстве является базисом.

• Доказательство см. в книге О.В. Зиминой ``Линейная алгебра и аналитическая геометрия" (Москва, Изд–во МЭИ, 2000, стр.44).

• Теорема. Пусть X_n — линейное пространство и e₁, e₂, … , e_n — некоторый базис в X_n . Тогда:

1. При сложении векторов их координаты складываются.

2. При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.

Доказательство см. в книге О.В. Зиминой ``Линейная алгебра и аналитическая геометрия" (Москва, Изд–во МЭИ, 2000, стр.45).

Утверждения теоремы в наших обозначениях выглядят следующим образом:

3. e_i, x + y = e_i, x + e_i, y ;

4. e_i, αx = αe_i, x .

Это означает, что скобки  · , ·  обладают свойством линейности по второму аргументу.