76. Метод замены переменных в неопределенном интеграле.
Пусть . Тогда. Здесьt(x) - дифференцируемая монотонная функция. Док-во непосредственно следует из формулы для производной сложной функции. Перепишем первый интеграл, заменив переменную x на t: . Это означает, что. Заменим независимую переменнуюt на функцию t = t(x): . Следовательно, функцияF(t(x)) является первообразной для произведения , или.
При решении задач замену переменной можно выполнить двумя способами. 1. Если в подынтегральной функции удаётся сразу заметить оба сомножителя, иf(t(x)), и , то замена переменной осуществляется подведением множителяпод знак дифференциала:, и задача сводится к вычислению интеграла. Например,(задача сведена к вычислению, гдеt = cos x) (аналогично находится интеграл от);(задача сведена к вычислению, гдеt = sin x) . В более сложных задачах операция подведения под знак дифференциала может выполняться несколько раз:(самое неприятное в подынтегральной функции - пятая степень арккотангенса под знаком экспоненты; если дальше не найдётся дифференциал этой функции, то интеграл, возможно, взять вообще не удастся; в то же время следующий множитель (arcctg4 x2) - производная (с точностью до постоянного множителя) степенной функции; затем следуют производные (опять с точностью до постоянных множителей) функций arcctg x2 и x2 по своим аргументам)
.
2. Замену переменной можно осуществлять формальным сведением подынтегрального выражения к новой переменной. Так, в имеет смысл перейти к переменной (сделать подстановку)t = sin x. Выражаем все множители подынтегрального выражения через переменную t: ; в результате(возвращаемся к исходной переменной). Другие примеры:. Подынтегральная функция содержит два множителя, ни один из которых не является производной другого, поэтому подводить их под знак дифференциала бесполезно. Попытаемся ввести новую переменную, такую, чтобы корни извлеклись:=.Рассмотрим(интеграл №19 изтабл. 10.3.неопределённых интегралов). Здесь подынтегральная функция состоит из единственного множителя; можно опять попытаться сделать такую замену переменной, чтобы корень извлёкся. Структура подкоренного выражения подсказывает эту замену: (или,):. Интеграл свёлся к интегралу от квадрата косинуса. При интегрировании чётных степеней синуса и косинуса часто применяются формулы, выражающиеичерез косинус двойного угла:.Поэтому.Искусство интегрирования в основном заключается в умении видеть необходимые подстановки; оно, как и любое другое искусство, вырабатывается упражнениями. Для основных классов функций требуемые подстановки будут изучаться дальше, здесь мы покажем, с помощью каких преобразований были выведены формулы 17, 15, 20Таблицы 10.3.неопределённых интегралов: 17. .
15.
.
20.
. Второй интеграл элементарно сводится к первому: .
- Свойства
- [Править]Неравенство Коши — Буняковского
- Нормальное уравнение плоскости.
- Общее уравнение прямой - основные сведения.
- Переход от общего уравнения прямой
- 13,14,15,16 В отдельном файле
- 17. Цилиндрические поверхности с образующей, параллельной одной из координатных осей.
- 18. Матрицы. Линейные операции над матрицами, их свойства.
- 19. Нелинейные операции над матрицами (умножение, транспонирование), их свойства. Умножение матриц
- Транспонирование и эрмитово сопряжение
- 20. Обратная матрица. Теорема существования, единственность, свойства.
- 21. Матричные уравнения. Теорема существования и единственности решения.
- 22. Решение системы линейных уравнений матричным методом. Правило Крамера.
- 23. Ранг матрицы. Свойства ранга.
- 24. Линейная зависимость столбцов матрицы. Свойства Линейная зависимость и независимость строк (столбцов) матрицы
- Свойства линейно зависимых и линейно независимых столбцов матриц
- 25. Базисный минор. Теорема о базисном миноре. Теорема о ранге.
- 26. Системы линейных уравнений. Теорема Кронекера - Капелли о совместимости систем.
- 27. Однородные системы линейных уравнений. Свойства их решений. Общее решение ослу.
- 28. Фундаментальная система решений ослу
- 29. Неоднородные системы линейных уравнений. Свойства их решений. Построение общего решения нслу.
- 30. Линейные пространства. Определение. Примеры, следствия из аксиом.
- 31. Линейная зависимость векторов линейного пространства. Свойства
- 32. Базис линейного пространства. Размерность
- 33. Единственность разложения векторов по базису. Координаты. Действия над векторами в координатной форме.
- 34. Изменение координат вектора при переходе к новому базису. Матрица перехода.
- 35. Евклидово пространство. Определение, примеры. Модуль вектора. Угол между векторами. Неравенство Коши-Буняковского.
- 36. Линейный оператор. Матрица линейного оператора. Изменение матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.
- 37. Образ и ядро линейного оператора. Ранг линейного оператора.
- 38.В отдельном файле.
- 39. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Их свойства
- 40. Последовательность. Предел последовательности. Ограниченные, неограниченные, бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Определение
- [Править]Примеры
- [Править]Операции над последовательностями
- [Править]Подпоследовательности
- [Править]Примеры
- [Править]Свойства
- [Править]Предельная точка последовательности
- [Править]Предел последовательности
- [Править]Некоторые виды последовательностей
- [Править]Ограниченные и неограниченные последовательности
- [Править]Критерий ограниченности числовой последовательности
- [Править]Свойства ограниченных последовательностей
- [Править]Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности
- [Править]Свойства бесконечно малых последовательностей
- [Править]Сходящиеся и расходящиеся последовательности
- [Править]Свойства сходящихся последовательностей
- 41. Понятие функции. Способы задания функции.
- 42. Предел функции в точке, в бесконечности. Геометрическая интерпретация. Определения и примеры.
- 43. Теоремы о пределах:
- 44. Непрерывные функции и их свойства:
- Свойства Локальные
- Глобальные
- Теорема о сохранении знака для непрерывной функции
- Доказательство
- 45. Первый замечательный предел. Следствия. Теорема о пределе суммы, произведения и частного.
- 46. Ограниченные функции и их свойства. Необходимое условие существования предела функции в точке.
- 47. Бесконечно малые функции, их свойства. Леммы
- Леммы о бесконечно малых
- 48. Критерий существования предела функции в точке.
- 49. Бесконечно большие функции, связь с бесконечно малыми функциями.
- 50. Раскрытие неопределенностей. Второй замечательный предел.
- 51. Эквивалентные бесконечно малые функции. Таблица эквивалентных бесконечно малых функций.
- 52. Теорема о применении эквивалентных бесконечно малых к вычислению пределов.
- 3.2. Основные формулы эквивалентности бесконечно малых.
- 53. Односторонние пределы функции в точке. Односторонняя непрерывность функции в точке.
- 54. Точки разрыва функции и их классификация.
- 55. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
- 56. Задачи, приводящие к понятию производной. Понятие производной. Геометрический и физический смысл производной.
- 1.1 Задачи, приводящие к понятию производной
- , Если .
- 57. Дифференцируемость функции. Критерий дифференцируемости функции в точке.
- 57. Дифференцируемость функции. Критерий дифференцируемости функции в точке.
- 58. Производная сложной функции.
- 59. Дифференциал функции. Инвариантность формы записи первого дифференциала.
- 60. Обратная функция и ее производная.
- 60. Обратная функция и ее производная.
- 61. Правила дифференцирования.
- 63. Логарифмическое дифференцирование. Производная степенно-показательной функции.
- 5.4. Производная степенно-показательной функции
- 64. См. Отдельный файл.
- 65. Теоремы о среднем – Ферма, Ролля.
- 66. Теоремы о среднем – Лагранжа, Коши.
- 67. Дифференциалы высших порядков. Неинвариантность формы записи.
- 68. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей с использованием правила Лопиталя.
- 69. Формула Тейлора. Разложение функции по формуле Тейлора.
- 70. Монотонность функции. Условия монотонности.
- 71. Экстремумы функции. Необходимое условие существования экстремума.
- 72. Достаточные условия экстремума.
- 73. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.
- 74. Асимптоты графика.
- [Править]Виды асимптот графиков [править]Вертикальная
- [Править]Горизонтальная
- [Править]Наклонная
- [Править]Нахождение асимптот
- 76. Метод замены переменных в неопределенном интеграле.
- 77. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле. Классы функций, интегрируемых по частям.
- 78. Рациональные дроби. Разложение рациональных дробей на сумму простейших.
- 79. Интегрирование простейших рациональных дробей.
- 80. Интегрирование тригонометрических функций.
- 81. Интегрирование иррациональностей вида…
- 82. Интегрирование иррациональностей вида…
- 83. Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл и свойства. Теорема о среднем.
- 84. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.
- 85. Полярная система координат. Уравнения кривых в полярной системе координат.
- Уравнение кривых в полярных координатах
- Окружность
- Полярная роза
- Спираль Архимеда
- Конические сечения
- 86. Вычисление определенного интеграла. Применение его к вычислению площадей плоских фигур, длины дуги кривой.
- 87. Вычисление объемов тел, объемов тел вращения.
- 88. Приложение определенного интеграла к задачам физики.
- 89. Несобственные интегралы I рода.
- 89. Несобственные интегралы I рода.
- Несобственные интегралы I рода
- Геометрический смысл несобственного интеграла I рода
- Примеры
- 90. Несобственные интегралы II рода.
- Геометрический смысл несобственных интегралов II рода