42. Предел функции в точке, в бесконечности. Геометрическая интерпретация. Определения и примеры.
Пусть E R и a – предельная точка множества E.
Определение 1. Будем говорить, что a –предельная точка для множества E, если любая окрестность точки a содержит бесконечное подмножество множества E.
Пусть f:E R. Приведем несколько формулировок определения предела функции. Для разных оценок бывает удобна то одна, то другая.
Определение 2 (предел функции по Коши). Число A R называется пределом функции f(x) в точке a или при x a и это обозначается следующим образом limx af(x) = A, если
> 0 ()>0: x: 0<|x-a|< |f(x)-A|<
Пример 1. Доказать, что limx 1(2x+3) = 5.
Запишем определение предела для данного примера
>0 ()>0 x удовлетворяющих условию : 0<|x-1|<
должно быть выполнено неравенство
|2x+3-5|< или 2|x-1|<.
Отсюда следует, что неравенство 2|x-1|<2 выполнится, если /2. Если = 0,1, то = 0,05 , при = 0,01, = 0,005 и т.д. Таким образом, решение задачи состоит в нахождении , зависящего от .
Определение 3. Проколотой окрестностью точки называется окрестность точки, из которой исключена эта точка.
Обозначается проколотая окрестность символом .
Определение 4 (предел функции на "языке окрестностей"). Число A R называется пределом функции f(x) в точке a или при x a, если для любой окрестности U(A) числа A существует проколотая окрестность точки a такая, что f() U(A).
Приведем еще одно эквивалентное определение предела на "языке последовательностей".
Определение 5 (предел функции по Гейне). A=limx af(x) означает, что
xn a при n ; xn a, f(xn) A при n
Пример 2. Покажем, что не существует предела f(x) = sin(1/x) при x 0. Для этого используем определение предела на языке последовательностей. Выберем две последовательности xn1 = 1/ n, xn2 = 1/(/2+2 n), которые обе сходятся к нулю при n. Тогда sin xn1 = sin n=0, sin xn2 = sin (/2+2 n) = 1, Таким образом, f(xn1) и f(xn2) сходятся к разным числам, поэтому определение предела на "языке последовательностей" не выполняется.
Пример 3. Рассмотрим функцию Дирихле
f(x) = |
|
, где Q –множество рациональных чисел, соответственно множество R\ Q –множество иррациональных чисел. Данная функция не имеет предела ни в одной точке a действительной прямой. Действительно, если выбрать последовательность рациональных чисел, сходящихся к a, то соответствующая последовательность значений функции сходится к единице. Если выбрать последовательность иррациональных значений, то значения функции сходятся к нулю. Следовательно, на основании определения предела по Гейне данная функция не имеет предела.
Рассмотрим геометрический смысл предела функции в точке. Неравенство |f(x)-A|< равносильно двойному A-<f(x)<A+. Число A есть предел функции f(x) при xa, если для любого >0 найдется такая -окрестность точки a, что для всех x a из этой окрестности соответствующие значения функции f(x) будут заключены в полосе A-<f(x)<A+ (см. рис. 14).
Рассмотрим понятие предела функции в бесконечности.
Определение 6 (предел функции в бесконечности).
limx f(x) = A,
если
> 0 B() >0: x таких, что |x| > B, выполняется |f(x)-A| <
Определение 7.
limx af(x) = ,
если
A>0 (A) > 0: x 0<|x-a|< , |f(x)| > A
limx f(x) = , если A>0 B(A)>0: x |x|> B, |f(x)|> A
Аналогично формулируются определения при x, а также определения, когда A = .
Замечание. Изученное понятие предела последовательности можно рассматривать как частный случай предела функции при x.
Пример 4. Доказать, что limx 11/(x-1)2 = +
> 0 ()>0: x 0<|x-1|< выполняется 1/(x-1)2> 1/|x-1|2>1/ 2>
Замечание. Если при стремлении x к a переменная x принимает лишь значения, меньшие a или большие a и при этом f(x) стремится к A, то говорят, что существуют односторонние пределы функции, то есть limx a-0f(x) = A – предел слева или limx a+0f(x) = A – предел справа. Очевидно, что если limx a-0f(x) = limx a+0f(x) = A, то limx a = A. Верно и обратное утверждение.
Пример 5. Покажем, что не существует предела f(x) = 21/x, при x 0. limx 0-021/x = limx 0-02- = 0 limx 0+021/x = limx 0+02+ = +
Пределы не равны, следовательно limx 0 21/x не существует.
- Свойства
- [Править]Неравенство Коши — Буняковского
- Нормальное уравнение плоскости.
- Общее уравнение прямой - основные сведения.
- Переход от общего уравнения прямой
- 13,14,15,16 В отдельном файле
- 17. Цилиндрические поверхности с образующей, параллельной одной из координатных осей.
- 18. Матрицы. Линейные операции над матрицами, их свойства.
- 19. Нелинейные операции над матрицами (умножение, транспонирование), их свойства. Умножение матриц
- Транспонирование и эрмитово сопряжение
- 20. Обратная матрица. Теорема существования, единственность, свойства.
- 21. Матричные уравнения. Теорема существования и единственности решения.
- 22. Решение системы линейных уравнений матричным методом. Правило Крамера.
- 23. Ранг матрицы. Свойства ранга.
- 24. Линейная зависимость столбцов матрицы. Свойства Линейная зависимость и независимость строк (столбцов) матрицы
- Свойства линейно зависимых и линейно независимых столбцов матриц
- 25. Базисный минор. Теорема о базисном миноре. Теорема о ранге.
- 26. Системы линейных уравнений. Теорема Кронекера - Капелли о совместимости систем.
- 27. Однородные системы линейных уравнений. Свойства их решений. Общее решение ослу.
- 28. Фундаментальная система решений ослу
- 29. Неоднородные системы линейных уравнений. Свойства их решений. Построение общего решения нслу.
- 30. Линейные пространства. Определение. Примеры, следствия из аксиом.
- 31. Линейная зависимость векторов линейного пространства. Свойства
- 32. Базис линейного пространства. Размерность
- 33. Единственность разложения векторов по базису. Координаты. Действия над векторами в координатной форме.
- 34. Изменение координат вектора при переходе к новому базису. Матрица перехода.
- 35. Евклидово пространство. Определение, примеры. Модуль вектора. Угол между векторами. Неравенство Коши-Буняковского.
- 36. Линейный оператор. Матрица линейного оператора. Изменение матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.
- 37. Образ и ядро линейного оператора. Ранг линейного оператора.
- 38.В отдельном файле.
- 39. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Их свойства
- 40. Последовательность. Предел последовательности. Ограниченные, неограниченные, бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Определение
- [Править]Примеры
- [Править]Операции над последовательностями
- [Править]Подпоследовательности
- [Править]Примеры
- [Править]Свойства
- [Править]Предельная точка последовательности
- [Править]Предел последовательности
- [Править]Некоторые виды последовательностей
- [Править]Ограниченные и неограниченные последовательности
- [Править]Критерий ограниченности числовой последовательности
- [Править]Свойства ограниченных последовательностей
- [Править]Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности
- [Править]Свойства бесконечно малых последовательностей
- [Править]Сходящиеся и расходящиеся последовательности
- [Править]Свойства сходящихся последовательностей
- 41. Понятие функции. Способы задания функции.
- 42. Предел функции в точке, в бесконечности. Геометрическая интерпретация. Определения и примеры.
- 43. Теоремы о пределах:
- 44. Непрерывные функции и их свойства:
- Свойства Локальные
- Глобальные
- Теорема о сохранении знака для непрерывной функции
- Доказательство
- 45. Первый замечательный предел. Следствия. Теорема о пределе суммы, произведения и частного.
- 46. Ограниченные функции и их свойства. Необходимое условие существования предела функции в точке.
- 47. Бесконечно малые функции, их свойства. Леммы
- Леммы о бесконечно малых
- 48. Критерий существования предела функции в точке.
- 49. Бесконечно большие функции, связь с бесконечно малыми функциями.
- 50. Раскрытие неопределенностей. Второй замечательный предел.
- 51. Эквивалентные бесконечно малые функции. Таблица эквивалентных бесконечно малых функций.
- 52. Теорема о применении эквивалентных бесконечно малых к вычислению пределов.
- 3.2. Основные формулы эквивалентности бесконечно малых.
- 53. Односторонние пределы функции в точке. Односторонняя непрерывность функции в точке.
- 54. Точки разрыва функции и их классификация.
- 55. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
- 56. Задачи, приводящие к понятию производной. Понятие производной. Геометрический и физический смысл производной.
- 1.1 Задачи, приводящие к понятию производной
- , Если .
- 57. Дифференцируемость функции. Критерий дифференцируемости функции в точке.
- 57. Дифференцируемость функции. Критерий дифференцируемости функции в точке.
- 58. Производная сложной функции.
- 59. Дифференциал функции. Инвариантность формы записи первого дифференциала.
- 60. Обратная функция и ее производная.
- 60. Обратная функция и ее производная.
- 61. Правила дифференцирования.
- 63. Логарифмическое дифференцирование. Производная степенно-показательной функции.
- 5.4. Производная степенно-показательной функции
- 64. См. Отдельный файл.
- 65. Теоремы о среднем – Ферма, Ролля.
- 66. Теоремы о среднем – Лагранжа, Коши.
- 67. Дифференциалы высших порядков. Неинвариантность формы записи.
- 68. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей с использованием правила Лопиталя.
- 69. Формула Тейлора. Разложение функции по формуле Тейлора.
- 70. Монотонность функции. Условия монотонности.
- 71. Экстремумы функции. Необходимое условие существования экстремума.
- 72. Достаточные условия экстремума.
- 73. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.
- 74. Асимптоты графика.
- [Править]Виды асимптот графиков [править]Вертикальная
- [Править]Горизонтальная
- [Править]Наклонная
- [Править]Нахождение асимптот
- 76. Метод замены переменных в неопределенном интеграле.
- 77. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле. Классы функций, интегрируемых по частям.
- 78. Рациональные дроби. Разложение рациональных дробей на сумму простейших.
- 79. Интегрирование простейших рациональных дробей.
- 80. Интегрирование тригонометрических функций.
- 81. Интегрирование иррациональностей вида…
- 82. Интегрирование иррациональностей вида…
- 83. Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл и свойства. Теорема о среднем.
- 84. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.
- 85. Полярная система координат. Уравнения кривых в полярной системе координат.
- Уравнение кривых в полярных координатах
- Окружность
- Полярная роза
- Спираль Архимеда
- Конические сечения
- 86. Вычисление определенного интеграла. Применение его к вычислению площадей плоских фигур, длины дуги кривой.
- 87. Вычисление объемов тел, объемов тел вращения.
- 88. Приложение определенного интеграла к задачам физики.
- 89. Несобственные интегралы I рода.
- 89. Несобственные интегралы I рода.
- Несобственные интегралы I рода
- Геометрический смысл несобственного интеграла I рода
- Примеры
- 90. Несобственные интегралы II рода.
- Геометрический смысл несобственных интегралов II рода