4.3.8. Гиперболический параболоид

Определение 43. Гиперболическим параболоидом называется множество точек пространства, которое в некоторой прямоугольной системе координат можно задать уравнением (92).

Из уравнения (92) следует, что параболоид симметричен относительно плоскостей (ХОZ), (УОZ) и оси (ОZ).

Исследуем параболоид методом сечений.

I. При пересечении параболоида плоскостями z = h, параллельными плоскости (ХОУ), получаются линии ()

При h  0 в сечении получаются гиперболы, действительные оси которых параллельны оси (ОУ), при h  0 гиперболы с действительными осями, параллельными оси (ОХ). При h = 0 плоскость (ХОУ) пересекает параболоид по паре пересекающихся прямых.

II. В сечении плоскостями у = m, параллельными плоскости (ХОZ) получаются параболы у = m, оси которых параллельны оси (ОZ), ветви направлении в направлении оси (ОZ) и вершинами являются точки (0, m, ).

III. В сечении плоскостями х = n, параллельными плоскости (УОZ), получаются линии Эти уравнения определяют параболы, оси которых параллельны оси (ОZ), ветви направлении в направлении, противоположном оси (ОZ), и вершинами являются точки (n, 0, ).

Исследование методом сечений даёт следующую поверхность

Рис. 88