logo
АНАЛИТ

1.2. Сложение векторов

Пусть и любые два вектора. Чтобы к вектору прибавить векторнужно отложить векторот любой точки А (), от конца В полученного вектора отложить вектор(). Тогда векторбудетвектором суммы, т.е.

. Иными словами, .

Свойства сложения векторов.

Рис. 2

10. Для любых двух векторов их сумма определена и однозначна. (Следует из определения).

20. =для любого вектора. (Докажите).

30. Для любого вектора существует противоположный вектор () такой, что+ () =. (Докажите).

40. для любых векторови.

Доказательство. В случае, когда хотя бы один из векторов нулевой, утверждение следует из предыдущего свойства. Остаётся рассмотреть ненулевые векторы. При этом возможны следующие случаи.

а) Векторы ине параллельны. Пусть+=. Отложим от точки А вектор, пусть. Так какиимеют одинаковые длины и направления, то АВСD – параллелограмм. Следовательно, отрезки АВ и DC тоже имеют одинаковые длины и направления. Итак, . По правилу сложения векторов

Рис. 3

и . Отсюда.

б) Векторы ипараллельны и одинаково направлены (сонаправлены). В этом случае при откладывании от точки А получим,(рис.4). Векторыисонаправлены с вектором,

Рис. 4

поэтому сонаправлены между собой. Очевидно, . Следовательно,, т.е..

в) Случай, когда векторы ипараллельны и противоположно направлены, рассмотрите самостоятельно.

Определение 4. Векторы называются коллинеарными, если их можно отложить на одной прямой.

Очевидно, два вектора неколлинеарны тогда и только тогда, когда они ненулевые и не параллельные. Из случая а) проведённого доказательства следует ещё одно правило сложения неколлинеарных векторов:

Чтобы сложить два неколлинеарных вектора, достаточно отложить их от одной точки, построить на них, как на сторонах, параллелограмм, тогда диагональ этого параллелограмма, идущая из данной точки, будет задавать вектор суммы.

50. для любых векторов

Доказательство. Для левой части получим

. Для правой части . Итак, результаты равны.

Из свойств 10 – 50 вытекает

Рис. 5

Теорема 1. Множество всех геометрических векторов есть аддитивная абелева группа.

Определение 5. Разностью упорядоченной пары векторов называется сумма первого вектора и вектора, противоположного второму, т.е.

.

Чтобы вычесть из одного вектора второй, достаточно отложить оба вектора от одной точки. Тогда вектор, соединяющий концы полученных отрезков и направленный в сторону уменьшаемого, будет вектором разности (рис. 6). Очевидно, это правило не зависит от того, будут ли векторы коллинеарными или неколлинеарными.

Свойства разности:

Рис. 6

10. Для любой упорядоченной пары векторов их разность определена и однозначна.

20. Разность двух векторов антикоммутативна.

для любых векторов и.

30. Не выполняется ассоциативный закон, а именно

для любых векторов ,и.

Задача 1. АВСDA1B1C1D1  параллелепипед, =,,,

, ,,

. Найдите

1) ; 2).

Решение. 1) Так как ,,, то=+++=.

2) Так как и, то

= .

Рис. 7