logo
АНАЛИТ

1.1. Геометрические векторы

Определение 1. Геометрический отрезок называется ориентированным, если указан порядок его концов.

Определение 2. Геометрическим вектором (вектором) называется ориентированный отрезок. При этом начало и конец ориентированного отрезка называются соответственно началом и концом вектора. Длина ориентированного отрезка называется длиной вектора.

Вектор обозначается , гдеА – начало, а В – конец вектора. Если начало и конец вектора нас не интересуют, то вектор обозначают . Длина вектора обозначаетсяили. Если начало и конец вектора совпадают, то вектор называютнулевым и обозначают . Если начало и конец вектора – различные точки (АВ), то существует и только один луч с началом А, проходящий через точку В. Этот луч задаёт в пространстве направление, которое называется направлением данного вектора. Нулевой вектор не имеет направления.

Определение 3. Два вектора называются равными, если они либо оба нулевые, либо имеют одинаковые длину и направление.

Равенство векторов обладает следующими очевидными свойствами: 1) рефлексивность (всякий вектор равен сам себе); 2) симметричность ( если , то); 3)транзитивность (если и, то).

Множество всех равных векторов можно задать 1) одним из векторов (ориентированным отрезком); 2) упорядоченной парой точек; 3) длиной и направлением (в случае ненулевого вектора).

Пусть даны вектор и точка А. Если, то существует и только один вектор с началом в точкеА, равный данному вектору. Это вектор (т.е.В = А). Если , то существует и только один луч, сонаправленный с вектором. На этом луче существует и только одна точка В, расстояние от которой до точкиА равно . Но тогда

Рис. 1

А равно . Но тогда(рис. 1). Будем говорить, что векторотложен от точки А. Итак, любой вектор можно отложить от любой точки и только единственным образом.

Замечание. Часто бывает удобно все равные векторы считать за один вектор. В этом случае можно определить равенство ориентированных отрезков. Это равенство будет отношением эквивалентности на множестве всех ориентированных отрезков. Следовательно, множество ориентированных отрезков будет разбиваться на классы эквивалентности. Определение 2 можно дать в следующем виде.

Определение 21. Геометрическим вектором называется класс ориентированных отрезков. При этом каждый отрезок из класса называется изображением вектора (слово «изображение» часто опускают).