logo
АНАЛИТ

3.6.2.6. Расстояние между скрещивающимися прямыми

Дано: ,l1: , l2 : , l1 и l2 скрещиваются.

Найти d (l1, l2).

Из уравнений l1 и l2 следует, что M1 (x1, y1, z1)  l1, M2 (x2, y2, z2) l2 и векторы ипараллельны

Рис. 53

прямым l1 и l2 соответственно. Искомое расстояние равно высоте параллелепипеда, построенного на векторах ,и. Следовательно,

.

Переписав это равенство в координатах, получим

(54)

Задача 19. Дано: ,l1 : l2 :

Проверьте, что l1 и l2 скрещиваются и найдите расстояние между ними.

Решение. Найдём направляющий вектор прямой l1 и какую-нибудь точку на ней.

, М1 = {1, 2, 9}. Из уравнений l2 следует, что М2 (4, 1, 0) и 1, 3}.

Вычислим . Следовательно,l1 и l скрещиваются. Найдём . Следовательно,

= и.

3.6.3. Геометрический смысл неравенства Ах + Ву + Сz + D 0 ( 0, 0, 0)

Дано: R = , Ах + Ву + Сz + D  0.

Исследовать, какую фигуру задаёт данное неравенство.

Уравнение Ах + Ву + Сz + D = 0 задаёт плоскость. Пусть это плоскость П. Рассмотрим все точки пространства, не лежащие на П.

Вектор не параллелен плоскостиП. Действительно, если бы был параллелен П, то АА + ВВ + СС = А2 + В2 + С2= 0. Но это невозможно.

Рис. 54

Рассмотрим множество всех точек пространства, не лежащих на плоскости П. Пусть М – любая из этих точек. Проведём через точку М прямую, параллельную вектору , и пусть она пересекаетП в точке N. Векторы иколлинеарны,, следовательно,. () Очевидно,  0  когда точки М лежат в одной открытой полуплоскости с границей П, а именно в той, в сторону которой направлен вектор . И  0  когда точки М лежат в другой открытой полуплоскости с этой же границей. Перейдём к координатам. Пусть М (х, у, z) и N (х1, у1, z1). Тогда = {x x1, y y1, z z1}. Равенство () в координатах перепишется:

x x1 = A, y y1 = B, z z1 = C.

Отсюда x1 = x A, y1 = y B, z1 = z C. Так как N П, то Ах1 + Ву1 + Сz1 + D = 0. Следовательно, А(x A) + В(y B) + С (z C) + D = 0. Ах + Ву + Сz + D = (A2 + B2 + C2).

Так как A2 + B2 + C2  0, то знак Ах + Ву + Сz + D совпадает со знаком .

Итак, Ах + Ву + Сz + D  0  точки М лежат в одной открытой полуплоскости с границей П, а именно в той, в сторону которой направлен вектор .Ах + Ву + Сz + D  0  точки М лежат в другой открытой полуплоскости с этой же границей.

Неравенства Ах + Ву + Сz + D  0 и Ах + Ву + Сz + D  0 определяют замкнутые полуплоскости (их называют просто полуплоскости) с границей П.

Задача 20. Какую фигуру задаёт в аффинной системе координат система ?

Решение. Уравнение x + z 2 = 0 задаёт плоскость П1, параллельную оси (Оу) и пересекающую оси (Ох) и (Оz) в точках (2, 0, 0) и (0, 0, 2) соответственно. Неравенство задаёт полуплоскость с границейП1, в которой не лежит начало координат (ибо координаты начала координат не удовлетворяют этому неравенству). Уравнение 2x + y  4 = 0 определяет плоскость П2, параллельную оси (Оz) и пересекающую оси (Ох) и (Оу) в точках (2, 0, 0) и (0, 4, 0). Неравенство

задаёт полуплоскость с границей П2 , в которой не лежит начало координат. Плоскости П1 и П2 пересекаются по прямой АВ. Данная система задаёт пару вертикальных двугранных углов с гранями П1 и П2, ни в одном из которых не лежит начало координат.