1.3. Умножение вектора на действительное число

Определение 6. Произведением ненулевого вектора на отличное от нуля действительное число называется такой вектор (обозначение), что

,

, если   0,

, если   0.

Если или = 0, то вектор считается равным нулевому вектору.

Свойства операции умножения вектора на действительное число.

1⁰. Произведение любого вектора на любое действительное число определено и однозначно.

2⁰. 1для любого вектора.

3⁰.для любого вектораи любых действительных чисел,.

Доказательство. Возможны случаи.

1)  = 0, или  = 0, или =. В этом случае равенство очевидно.

2)   0,   0 и  . Сравним длины и направления векторов, стоящих в левой и правой частях доказываемого равенства.

,

.

Следовательно, . Так как направления векторов зависят от знаков коэффициентов, то рассмотрим все возможные случаи.

а)  и  одного знака (пусть   0,   0). В этом случае     0.

,

, следовательно, .

Итак, левая и правая части доказываемого равенства имеют одинаковые длины и направления, поэтому они равны.

б)  и  имеют разные знаки (пусть   0,   0). В этом случае     0.

.

.

Снова получили, что левая и правая части доказываемого равенства имеют одинаковые длины и направления, поэтому они равны.

4⁰. и (для любых векторов,и любых действительных чисел, . (Докажите это свойство самостоятельно).

Теорема 2. Множество всех геометрических векторов есть векторное (линейное) пространство над полем действительных чисел.

Доказательство следует из теоремы 1 и свойств 1⁰ – 4⁰ операции умножения вектора на действительное число.