АНАЛИТ

4.3.5. Однополостный гиперболоид

Определение 40. Однополостным гиперболоидом называется множество точек пространства, которое в некоторой прямоугольной системе координат можно задать уравнением

(89)

Из уравнения (89) следует

, т.е. гиперболоид лежит вне эллиптического цилиндра, образующие которого параллельны оси (ОZ), а направляющей является эллипс в плоскости (ХОУ).
Однополостный гиперболоид симметричен относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат.

Исследуем форму этого гиперболоида методом сечений.

I. Пересечём гиперболоид плоскостью, параллельной (ХОУ), её уравнение z = h. Уравнения сечения будут ()

При любом h это уравнение определяет эллипс с полуосями аи b. Наименьший эллипс получается при h = 0, т.е. в плоскости (ХОУ). При возрастании h полуоси эллипсов увеличиваются и стремятся к бесконечности (рис. 85).

II. Пересечём гиперболоид плоскостями у = m, параллельными плоскости (ХОZ). Уравнения сечений

у = m. ()

Возможны случаи:

1) b  m  b. Сечениями будут гиперболы, действительные оси которых параллельны оси (ОХ) и действительная и мнимая полуоси имеют длину

Рис. 85

а и bсоответственно. Наибольшие полуоси получаются при m = 0. При увеличении m полуоси уменьшаются и стремятся к нулю. Следовательно, ветви гиперболы сближаются.

2)m = b. В этом случае . Это уравнение определяет пару пересекающихся прямых. Итак, каждая из плоскостей у =b и у =b пересекает гиперболоид по паре пересекающихся прямых.

3) m  b. В этом случае уравнения () определяют гиперболу, действительная ось которой параллельна оси (ОZ). При увеличении m полуоси будут возрастать, следовательно, ветви гиперболы удаляются друг от друга (рис. 85).

III. При пересечении гиперболоида плоскостями х = n, параллельными плоскости (УОZ) получим результаты, аналогичные результатам предыдущего пункта (проведите это исследование сами).

Содержание