logo
АНАЛИТ

1.6. Проекция на прямую параллельно данной плоскости

Пусть l – прямая, П – плоскость и l П. Пусть М – произвольная

точка. Через точку М проведём плоскость П1, параллельную П. Пусть М1 = lП1. Точка М1 называется проекцией точки М на прямую l параллельно плоскости П.

Свойства проекций.

10. Каждая точка имеет проекцию и только одну.

20. Точка совпадает со своей проекцией

Рис. 12

тогда и только тогда, когда она лежит на прямой l.

30. Точки имеют одну и ту же проекцию тогда и только тогда, когда они лежат в одной плоскости, параллельной П.

40. Если отрезок параллелен плоскости П, то он проектируется в точку. Если отрезок не параллелен плоскости П, то его проекция – отрезок.

50. Проекция ориентированного отрезка есть ориентированный отрезок. Следовательно, проекцией вектора будет вектор. Он называется векторной проекцией данного вектора и обозначается (параллельноП). Если проектирование идёт параллельно только одной плоскости, то слова в скобках можно опускать.

60. Равные и параллельные отрезки имеют равные проекции.

Доказательство. Пусть отрезки АВ и СD равны и параллельны. Если АВ параллелен плоскости П, то СD тоже параллелен плоскости П. В этом случае оба отрезка проектируются в точку. Следовательно, их проекции равны.

Рис. 13

Пусть АВ, а поэтому и СD, не параллельны плоскости П. Пусть АВ проектируется в А1В1, а СD  в С1D1. При параллельном переносе на вектор ПлоскостьП1 перейдёт в П3, П2  в П4, прямая l  сама в себя. Следовательно, все отрезки с концами в плоскостях П1 и П2 перейдут в некоторые отрезки с концами в плоскостях П3 и П4. Отсюда и следует, что А1В1 равен и параллелен С1D1.

70. Если , то=.

Доказательство. Так как равные векторы имеют равные векторные проекции, то при сложении первый вектор можно отложить от любой точки. Пусть О  l, . ЕслиАА1, В В1, то =,=,. Так как, то+.

Рис. 14

80. =. (Докажите самостоятельно)