АНАЛИТ
3.3.1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору
| Дано: R = ,М0(х0, у0), ,,l M0, l . Найти уравнение l. Найти уравнение l – это значит найти условие, которому удовлетворяют координаты любой точки прямой и не удовлетворяют координаты никаких других точек. М l либо , либо () Так как , то () перепишется |
Рис. 35 |
(24)
Полученное уравнение – это векторное уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.
Переписав уравнение (24) в координатах, получим
А(х х0) + В(у у0) = 0 (25)
Поставим обратную задачу:
Дано: R = ,l : Ax + By + C = 0 ().
Доказать: если , то.
Доказательство. Пусть М(х, у) – произвольная точка данной прямой и М0(х0, у0) – некоторая фиксированная её точка. Тогда Ах0 + Ву0 + С = 0. Вычитая почленно полученное тождество из уравнения (), получим уравнение А(х х0) + В(у у0) = 0, эквивалентное уравнению (), т.е. уравнение (25). Если , то (25) можно записатьВекторлибо нулевой, либо параллеленl. Так как , то для всех точек М l , отличных от М0, имеет место . Отсюда следует, что.
Содержание
- Аналитическая геометрия
- I. Элементы векторной алгебры
- 1.1. Геометрические векторы
- 1.2. Сложение векторов
- 1.3. Умножение вектора на действительное число
- 1.4. Коллинеарные векторы
- 1.5. Компланарные векторы
- 1.6. Проекция на прямую параллельно данной плоскости
- 1.7. Проекция вектора на ось
- 1.8. Ортогональная проекция вектора на ось
- 1.9. Скалярное произведение векторов
- 1.10. Векторное произведение векторов
- 1.15. Смешанное произведение векторов
- II. Метод координат на плоскости и в пространстве
- 2.1 Введение системы аффинных и прямоугольных координат на плоскости и в пространстве
- 2.2. Аффинные задачи на плоскости и в пространстве
- 2.2.1. Координаты вектора, заданного координатами его концов.
- 2.3. Метрические задачи на плоскости и в пространстве .
- 2.3.1. Расстояние между точками.
- 2.3.2. Угол, заданный тремя точками.
- 2.4. Преобразование аффинных координат на плоскости и в пространстве
- 2.5. Преобразование прямоугольных координат на плоскости
- 2.6. Полярные координаты на плоскости
- 2.7. Цилиндрические и сферические координаты в пространстве
- III. Образы первой ступени
- 3.1. Условия, определяющие фигуру в системе координат
- 3.2. Прямая в аффинной системе координат на плоскости и в пространстве
- 3.2.1. Уравнения прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору
- 3.2.2. Уравнения прямой, проходящей через две точки
- 3.2.3. Общие уравнения прямой
- I.Общее уравнение прямой на плоскости
- 2. Общие уравнения прямой в пространстве
- 3.2.4. Исследование взаимного расположения прямых
- 3.3. Прямая в прямоугольной системе координат на плоскости
- 3.3.1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору
- 3.3.2. Уравнение прямой, проходящей через данную точку под данным углом к оси (Ох)
- 3.3.3. Нормальное уравнение прямой
- 3.3.4. Угол между двумя прямыми, заданными общими уравнениями
- 3.3.5. Угол между наклонными прямыми, заданными уравнениями с угловыми коэффициентами
- 3.3.6. Расстояние от точки до прямой
- 3.4. Пучок прямых на плоскости
- 3.6. Прямая и плоскость в пространстве
- 3.6.1. Плоскость в аффинной системе координат
- 3.6.1.1. Уравнения плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум данным векторам
- 3.6.1.2.. Уравнения плоскости, проходящей через три данные неколлинеарные точки
- 3.6.1.3. Общее уравнение плоскости
- 3.6.1.4. Исследование взаимного расположения двух плоскостей
- 3.6.2. Плоскость и прямая в прямоугольной системе координат
- 3.6.2.1. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору
- 3.6.2.2. Угол между двумя плоскостями
- 3.6.2.3. Угол между прямой и плоскостью
- 3.6.2.4. Расстояние от точки до плоскости
- 3.6.2.5. Расстояние от точки до прямой
- 3.6.2.6. Расстояние между скрещивающимися прямыми
- IV. Образы второго порядка
- 4.1. Элементарная теория линий второго порядка
- 4.1.1. Окружность
- 4.1.2. Эллипс
- 4.1.3. Гипербола
- 4.1.4. Парабола
- 4.1.5. Эллипс, гипербола и парабола в полярных координатах
- 4.2. Упрощение уравнения линии второго порядка
- 4.2.1. Преобразование уравнения линии второго порядка при повороте прямоугольной системы координат
- 4.2.2. Упрощение уравнения линии второго порядка. Метрическая классификация линий второго порядка
- 4.3. Поверхности
- 4.3.1. Цилиндрические поверхности
- 4.3.2. Конические поверхности
- 4.3.3. Поверхности вращения
- 4.3.4. Эллипсоид
- 4.3.5. Однополостный гиперболоид
- 4.3.6. Двуполостный гиперболоид
- 4.3.7. Эллиптический параболоид
- 4.3.8. Гиперболический параболоид
- 4.3.9. Прямолинейные образующие поверхности
- V. Расширенные евклидовы плоскость и пространство
- 5.1. Определение расширенных евклидовых плоскости и пространства
- 5.2. Однородные координаты на расширенной евклидовой плоскости
- 5.3. Уравнения прямой, точки и линий второго порядка в однородных координатах на расширенной евклидовой плоскости
- 5.4. Однородные координаты в расширенном евклидовом пространстве
- 5.5. Уравнения плоскости и прямой в однородных координатах
- Задачи по аналитической геометрии для домашних заданий
- Метод координат на плоскости и в пространстве
- Lll. Прямая линия на плоскости
- LV. Плоскость и прямая в пространстве
- V. Элементарная теория кривых второго порядка
- Vl. Элементарная теория поверхностей
- Vll. Другие системы координат на плоскости и в пространстве
- Основная литература