logo
АНАЛИТ

3.4. Пучок прямых на плоскости

Определение 20. Пучком прямых на плоскости называется множество всех прямых этой плоскости, проходящих через одну точку. Эта точка называется центром пучка.

Пучок можно задать двумя способами: центром и парой пересекающихся прямых.

I. Пучок задан центром.

Дано: R =, С(х0, у0) – центр пучка (рис. 43).

Найти условие, определяющее пучок.

Решение. Прямая l принадлежит пучку с центром С тогда и только тогда, когда l  С. При этом направляющим вектором

Рис. 43

может быть любой ненулевой вектор . Следовательно,l принадлежит пучку  l : , гдеm, n – любые действительные числа, не равные одновременно нулю. Итак, пучок с центром С задаётся уравнением

. (36)

В уравнении (36) две пары переменных. Меняя m, n, мы будем получать все возможные прямые пучка. Если m, n зафиксированы, то зафиксирована прямая пучка. При этом, меняя х, у, мы будем получать все возможные точки на полученной прямой.

2. Пучок задан парой пересекающихся прямых.

Дано. R = ,l1 : A1x + B1y + C1 = 0, l2 : A2x + B2y + C2 = 0 (рис. 44).

Найти уравнение пучка.

Решение. Пусть l1 l2 = С и С(х0, у0). Точка С будет центром пучка. Используя уравнение (36) получим, что прямая l принадлежит пучку  l : .

Рис. 44

Здесь вектор  любой ненулевой вектор. Из уравнений прямых l1 и l2 векторы ипараллельны прямымl1 и l2 соответственно, поэтому они не коллинеарны. Следовательно, любой вектор , где, - любые действительные числа, не равные нулю одновременно. Отсюда . Уравнение (36) перепишется. После преобразования получим:

().

Так как С = l1 l2, то A1x0 + B1y0 + C1 = 0 и A2x0 + B2y0 + C2 = 0. Отсюда ( A1x0 + B1y0) = С1, ( A2x0 + B2y0) = 0. Подставив в (), получим уравнение данного пучка

(37)

В уравнении (37) тоже две пары переменных (, ) и (х, у).

Задача 15. Дано: R = ,l1 : 3х + 4у +12 = 0, l2 : 4х + 3у  24 = 0, l3 : х + 2у + 3 = 0.

Найти уравнение прямой l, Если l  (l1 l2) и l l3.

Решение. Так как l  (l1 l2), то l принадлежит пучку прямых, определяемому прямыми l1 и l2. Следовательно, уравнение l можно искать в виде

(3х + 4у +12 ) + (4х + 3у  24) = 0 ()

Преобразовав это уравнение, получим

(3 + 4)х + (4 +3)у + (12  24) = 0 ()

Используя условие перпендикулярности прямых (33), получим

1(3 + 4) + 2(4 +3) = 0, или 11 + 10 = 0.

Так как все решения этого уравнения пропорциональны, а уравнение () при пропорциональных парах (, ) задаёт одну и ту же прямую, то достаточно найти одну ненулевую пару (, ). При  = 10  = 11. Подставив в (), получим уравнение

l : 14х  4у  384 = 0.

3.5. Геометрический смысл неравенств Ах + Ву + С  0 ( 0, 0,  0)

Дано. R = , Ах + Ву + С  0 (А и В не равны нулю одновременно) (38).

Исследовать, какую фигуру задаёт неравенство (38).

Решение. Пусть l : Ах + Ву + С = 0. Если бы вектор был параллелен прямойl, то векторы ибыли бы коллинеарны. Но тогда. ОтсюдаА2 + В2 = 0, т.е. А = В = 0, что противоречит

Рис. 45

условию. Итак, вектор не параллелен прямой (рис.45).

Рассмотрим множество всех точек плоскости, не лежащих на прямой l. Пусть М – любая из них. Пусть параллелен , гдеNl. Тогда =. При этом 0  точки М лежат в одной открытой полуплоскости с границей l, а именно в той в сторону которой направлен вектор . Перепишем последнее равенство в координатах. ЕслиМ (х, у), N (х0 , у0), то хх0 = А, уу0 = В. Отсюда х0 = х А, у0 = у В. Так как Nl, то Ах0 + Ву0 + С = 0. Подставив х0 и у0, получим А(х А) + В(у В) + С = 0. Отсюда Ах + Ву + С = (А2 + В2). Так как А2 + В2  0, то знак трёхчлена Ах + Ву + С совпадает со знаком . Итак, Ах + Ву + С  0  точка М (х, у) лежит в открытой полуплоскости с границей l, а именно в той, в сторону которой направлен вектор . НеравенствоАх + Ву + С  0 задаёт эту полуплоскость вместе с границей.