5.1. Определение расширенных евклидовых плоскости и пространства

На любой евклидовой плоскости есть два возможных взаимных расположений различных прямых: они могут либо пересекаться, либо быть параллельными. Зафиксируем произвольную евклидову плоскость П, прямую а на ней и точку В  а (рис. 89). Пусть А₀ фиксированная точка на

такого положения в, что в  а. Такой прямой в не будет соответствовать ни одна точка прямой а. Если прямую в поворачивать вокруг В дальше, то все полученные прямые снова будут пересекать а, но точки пересечения будут располагаться на а уже по другую сторону от А₀ и будут приближаться к ней с другой стороны. Итак, между всеми прямыми пучка В, отличными от в, и всеми точками прямой а устанавливается взаимнооднозначное соответствие. И только прямой в не хватило точки. Чтобы устранить это несоответствие, поступают следующим образом. Добавим на каждую прямую ещё одну новую точку. Назовём её несобственной, или бесконечно удалённой точкой. Все «старые» точки будем называть конечными или собственными. При этом на все параллельные прямые добавим одну и ту же точку. Несобственные точки, добавленные на пересекающиеся прямы, очевидно, должны быть различными. Множество всех несобственных точек, добавленных на плоскость П, назовём несобственной, или бесконечно удалённой прямой это плоскости. Все остальные прямые будем называть собственными.

Определение 45. Евклидова плоскость с добавленными на неё несобственными точками и несобственной прямой называется расширенной евклидовой плоскостью.

Рассмотрим евклидово пространство и на каждую его плоскость добавим, как описано выше, несобственные точки и несобственную прямую, при этом на все параллельные прямые (и только на них) добавим одну и ту же точку. Следовательно, на все параллельные плоскости будет добавлена лдна и та же несобственная прямая. Несобственные прямые, добавленные на пересекающиеся плоскости, будут, очевидно, различными.

Определение 46. Множество всех несобственных точек и несобственных прямых, добавленных в евклидово пространство, называется несобственной или бесконечно удалённой плоскостью.

Определение 47. Евклидово пространство с добавленными в него несобственными точками, несобственными прямыми и несобственной плоскостью называется расширенным евклидовым пространством.

Свойства расширенных евклидовых плоскости и пространства

1⁰. Через любые две различные токи проходит прямая и только одна.

Доказательство. Возможны три случая:

а) Обе точки конечные. По свойствам евклидовой плоскости через эти точки проходит «старая» прямая и только одна. «Новая» прямая содержит только несобственные точки, поэтому не может проходить через данные точки.

b) Одна точка (А ) собственная, другая (Р ) – несобственная. Точка Р добавлена на некоторую прямую b. Кроме того Р добавлена на все прямые, параллельные b, и только на них Среди них есть прямая, проходящая через А, и только одна.

с) Обе точки несобственные. Они не могут лежать на одной собственной прямой. Такие точки добавлены на две непараллельные прямые евклидова пространства. Все плоскости, определяемые любой парой таких прямых, параллельны, поэтому имеют одну и ту же несобственную прямую.

2⁰. Любые две различные прямые, лежащие в одной плоскости, пересекаются в точке и только в одной.

Доказательство. Возможны четыре случая: Первые три случая относятся к собственной плоскости.

а) Обе прямые собственные и до расширения были не параллельными. По свойствам евклидовой плоскости они имеют одну «старую» общую точку. «Новые» точки на них добавлены различные. Следовательно, такие прямые имеют одну общую точку.

б) Обе прямые собственные, но до расширения были параллельными. По свойствам евклидовой плоскости они не имели ни одной общей «старой» точки. Но на них добавлена одна и та же «новая» точка.

в) Одна прямая собственная, другая  несобственная. Так как несобственная прямая содержит все несобственные точки, а на собственной прямой лежит точно одна из них, то прямые пересекаются в одной точке.

г) Обе прямые несобственные. Они могут лежать только в несобственной плоскости. Линии пересечения любых пар евклидовых плоскостей, на которые добавлены эти точки, параллельны, поэтому данные прямые имеют одну общую несобственную точку. Общих собственных точек у них быть не может.

3⁰. Любая расширенная евклидова прямая замкнута.

Доказательство следует из определения расширенной прямой (см. рис. 89).

4⁰. Через любые две различные плоскости имеют общую прямую и только одну.

Доказательство. Возможны три случая:

а) Обе плоскости собственные и до расширения не были параллельными. По свойствам евклидова пространства эти плоскости пересекаются по собственной прямой. Несобственные прямые у них различные.

б) Обе плоскости собственные, но до расширения они были параллельными. По свойствам евклидова пространства эти плоскости не имеют общей собственной прямой. А несобственная прямая у них общая.

в) Одна плоскость собственная, другая – несобственная. Собственная плоскость имеет одну несобственную прямую. Несобственная плоскость содержит все несобственные прямые и, кроме них, не содержит ни одной собственной точки или прямой.

5⁰. Любая расширенная евклидова плоскость замкнута.

Доказательство проведите самостоятельно.

6⁰. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и только одна.

Доказательство проведите самостоятельно.