1.4. Коллинеарные векторы

Определение 7. Векторы называются коллинеарными, если их можно отложить на одной прямой.

Свойства коллинеарных векторов.

1⁰. Нулевой вектор коллинеарен с любым вектором.

2⁰. Противоположные векторы коллинеарны.

3⁰. При сложении двух коллинеарных векторов получается вектор, коллинеарный с данными векторами. Следовательно, множество коллинеарных векторов замкнуто относительно операции сложения.

4⁰. Если вектор умножить на действительное число, то получится вектор, коллинеарный данному. Следовательно, множество коллинеарных векторов замкнуто относительно операции умножения на действительное число.

Из этих свойств вытекает

Теорема 3. Множество всех коллинеарных векторов есть векторное (линейное) пространство над полем действительных чисел.

5⁰. Если два вектора коллинеарны, то хотя бы один из них можно представить в виде произведения другого на действительное число.

Доказательство. Пусть векторы иколлинеарны. Если вектор=, то= 0. Если=, то= 0. Если , и, то=. Если, то= .

Из двух последних свойств следуют следующие два свойства.

6⁰. (Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов)

Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда хотя бы один из них можно представить в виде произведения другого на действительное число.

7⁰. Если вектор не нулевой, то любой вектор, коллинеарный с вектором, можно представить в виде. Иными словами, для задания множества всех коллинеарных векторов достаточно задать один ненулевой из них.

Следствие. Множество всех коллинеарных векторов есть одномерное векторное пространство над полем действительных чисел. Базисом в нём является любой его ненулевой вектор.

Задача 2. Отрезок АВ точками С, Р, О, К, М, Т разбит на семь равных частей. Пусть