logo
АНАЛИТ

4.1.5. Эллипс, гипербола и парабола в полярных координатах

Если в каноническом уравнении эллипса, гиперболы или параболы заменить то получим уравнение соответствующей линии в той системе полярных координат, полюс которой совпадает с началом ПДСК, а полярная ось совпадает с осью (ОЗ). Уравнения, очевидно, будут различными. Но существует такая система полярных координат, в которой уравнения всех трёх линии имеют одинаковый вид.

Зададим систему полярных координат так, что а) в случае эллипса полюс совпадает с фокусом F1, а полярная ось имеет направление ; б) в случае гиперболы полюс совпадает с фокусомF2, а полярная ось имеет направление ; в) в случае параболы полюс совпадает с её единственным фокусом, а полярная ось направлена по оси параболы в сторону от её вершины (рис. 74).

Рис. 74

Пусть для эллипса, параболы или «правой» ветви гиперболы (обозначим их ) зафиксирована указанная система полярных координат, пусть М(, ) и пусть t – директриса, соответствующая выбранному фокусу. Тогда М  (рис. 75),FМ = , М = МК + К, МК= соs, К = QЕ, EF: QЕ= ,

Рис. 75

т.к. точка Е лежит на . Если обозначить EF= h, то QЕ= . Следовательно,М= соs + . Итак,М  . Преобразуя это уравнение, получим(62)

При   1 уравнение (62) задаёт эллипс, при   1 оно задаёт «правую» ветвь гиперболы, при  = 1 – параболу.

Для эллипса и гиперболы Е( с, ). Следовательно,h = . Для параболы (если её уравнениеу2 = 2рх) h = р.