logo
АНАЛИТ

4.1.3. Гипербола

Определение 30. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных различных точек есть постоянная величина (рис. 50).

Данные точки называются фокусами и обозначаются F1 и F2. Данная постоянная величина обозначается 2. ЕслиF1F2 = 2с, то из свойств сторон треугольника F1F2М следует, что 2с  2, т.е. с .

При изучении гиперболы нужно решить те же самые задачи, которые мы ставили для эллипса.

Рис. 65

Для вывода уравнения гиперболы выберем такую же каноническую систему координат, какая была использована для эллипса (рис. 65). В этой системе координат F1(с, 0), F2 (с, 0). Пусть М (х, у). Тогда r1 = F1М = , r2 = F2М= .

М  гиперболе   + = 2а, или

+ = 2а (58)

Уравнение (58) есть уравнение гиперболы. Упрощая его (проведите эти преобразования самостоятельно), получим

, где (59)

Так же как в случае эллипса можно показать, что уравнения (58) и (59) эквивалентны. Уравнение (59) называется каноническим уравнением гиперболы.

Исследуя уравнение (59), получаем следующие свойства гиперболы.

 , т.е. х  илих  . Следовательно, вся гипербола лежит вне полосы, ограниченной прямымих =  (рис.51).

 Гипербола пересекает ось (ОХ) в точках А1(,0),А2(,0). ОтрезокА1А2 имеет длину 2и называется действительной осью гиперболы.

Рис. 66

С осью (ОУ) гипербола не пересекается, но точки В1(0, ) иВ2(0, ) называются мнимыми вершинами гиперболы. ОтрезокВ1В2 имеет длину 2и называется мнимой осью гиперболы.

 Гипербола симметрична относительно координатных осей и начала координат. Следовательно, форму гиперболы достаточно исследовать только в первом координатном углу.

Пусть х  0, у  0. Тогда из уравнения (5) получим . Это уравнение той ветви гиперболы, которая лежит в первом координатном углу. Сравним эту ветвь гиперболы с лучом, лежащим в том же углу. При одном и том же значениих будет угип.улуче, т.е. ветвь гиперболы лежит между осью (ОХ) и лучом (рис. 67). Пусть М и точки на гиперболе и на луче

соответственно с одной и той же абсциссой.

Итак, точки гиперболы неограниченно приближаются к точкам луча.

Используя симметрию относительно координатных осей, получим, что в остальных координатных углах гипербола неограниченно приближается к прямым (рис. 68).

Рис. 67

Определение 31. Прямые, которые в канонической системе координат задаются уравнениями , называютсяасимптотами гиперболы.

Величина  = называетсяэксцентриситетом гиперболы. Очевидно,   1.

Рис. 68

Определение 32. Прямые, которые в канонической системе координат имеют уравнения называютсядиректрисами гиперболы.

Теорема 4. Отношение расстояния от любой точки гиперболы до фокуса к расстоянию от этой же точки до соответствующей директрисы есть постоянная величина, равная эксцентриситету.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1.

Определение 33. Прямая называется касательной к гиперболе, если она имеет с гиперболой одну двукратную точку пересечения. Общая точка гиперболы и её касательной называется точкой касания.

Теорема 5. В любой точке гиперболы существует касательная к ней и только одна. Если гипербола задана уравнением (59) и точка касания М0(х0, у0), то касательная имеет уравнение

.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 2.

Теорема 6. Если действительная ось гиперболы постоянна, то при   1 гипербола стремится к паре лучей на оси (ОХ) с вершинами А1 и А2, если   , то гипербола стремится к паре параллельных прямых х =  а (рис. 69).

Эта теорема доказывается аналогично теореме 3.

Рис. 69

Замечание 1. Если при выводе уравнения гиперболы через фокусы направить ось (ОУ) и постоянную, о которой идёт речь в определении, обозначить 2, то будета2 = с22 и уравнение гиперболы запишется (60).

Гиперболы, заданные уравнениями (59) и (60) называются сопряжёнными. Сопряжённые гиперболы имеют они и те же асимптоты (рис. 70). Фокусы гиперболы (60): ,. Её эксцентриситет = , директрисы у =.

Рис. 70

Замечание 2. Если центром гиперболы является точка С(х0, у0) и действительная ось параллельна оси (ОХ), то уравнение гиперболы .