2.4. Преобразование аффинных координат на плоскости и в пространстве

Пусть R = {O, B} и R¹ = {O¹, B¹} два аффинных репера, где В и В¹ соответствующие базисы. Пусть Т – матрица перехода от базиса В к базису В¹ и (х⁰_к) – столбец координат точки О¹ в репере R. Пусть М – произвольная точка, (х_к) и (х¹_к) – столбцы её координат в реперах R и R¹ соответственно. Тогда столбец координат вектора в базисеВ будет (х_к  х⁰_к), а в базисе В¹ – (х¹_к). Используя формулу связи координат вектора в разных базисах, получим

(х_к  х⁰_к) = Т(х_к¹), или (х_к) = Т(х_к¹) + (х⁰_к).

Если эту формулу переписать в координатах (на плоскости координаты точки обозначим х, у, в пространстве х, у, z) , получим

Так как матрица перехода всегда невырожденная, то определители этих формул отличны от нуля. Обратно, формулы () или () с определителем отличным от нуля всегда задают преобразование аффинных координат.

Задача 12. В параллелепипеде АВСDA₁B₁C₁D₁ точки М, Р, К заданы равенствами ,,. Запишите формулы преобразования координат, если системы координат заданы

координатных векторов:

, ,. Получим следующие формулы преобразования координат

«Новые» координаты точки К равны (0, 0, 1). Подставив их в полученные формулы вместо х¹, у¹, z¹, получим х = 0, у = , z =. Итак, «старые» координаты точки К равны (0, , ). «Старые» координаты точки В(0, 1, 0). Подставив их в найденные формулы вместо x, y, z, получим «новые» координаты x¹ = , у¹ = , z¹ = .