logo
АНАЛИТ

3.3.4. Угол между двумя прямыми, заданными общими уравнениями

Дано: R = , l1 : A1x + B1y + C1 = 0, l2 : A2x + B2y + C2 = 0.

Найти один из углов .

Замечание. Очевидно, достаточно найти только один из углов.

Решение: Первый способ. Из уравнений l1 и l2 следует, что вектор параллелен прямой l1 и вектор параллелен прямойl2. Следовательно, один из углов между l1 и l2 равен углу .

Рис 38

Итак, . (31)

(Вывод формулы (31) можно проводить в любой аффинной системе координат). Воспользовавшись тем, что данная система координат прямоугольная, перепишем формулу (31) в координатах. Получим . Окончательно

. (32)

Второй способ. Из уравнений l1 и l2 следует, что вектор перпендикулярен прямойl1 и вектор перпендикулярен прямойl2. Из свойства углов со взаимно перпендикулярными сторонами следует, что один из углов между l1 и l2 равен углу . Итак,

(33)

Рис. 39

Переписав полученную формулу в координатах, получим

. (32)

Замечание. Формулу (32) можно использовать только в том случае, когда прямые заданы общими уравнениями в прямоугольной системе координат.

Следствие. Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда А1А2 + В1В2 = 0 (33).

Задача 12. Дано: R = , , ,,l1 : 3х  4у + 11 = 0, l2 : 5х + у + 8 = 0.

Найти .

Решение. Используем формулу (31). В нашем случае =,. Следовательно,

;

, .

Подставив в формулу (31), получим .