АНАЛИТ
4.2.1. Преобразование уравнения линии второго порядка при повороте прямоугольной системы координат
Общий вид уравнения линии Г второго порядка в любой системе аффинных координат:
Г: а11х2 +2а12ху + а22у2 + 2а13х + 2а23у + а33 = 0 (66)
Если в уравнении (66) коэффициент а12 = 0, то уравнение (66) упрощается выделением полных квадратов (мы это сделаем ниже). Пусть а12 0. Поставим вопрос, можно ли найти такую систему координат, чтобы в уравнении линии Г не было слагаемого с произведением координат. Пусть линия Г задана в прямоугольной системе координат. Решить поставленный вопрос попробуем с помощью поворота прямоугольной системы координат. В этом случае формулы преобразования координат:
(67)
Подставив в уравнение (66), получим
а11(х1соs - у1sin)2 + 2а12(х1соs - у1sin)(х1 sin + у1 соs) + а22(х1 sin + у1 соs)2 + + 2а13(х1соs - у1sin) + 2а23(х1 sin + у1 соs) + а33 = 0.
Раскроем скобки, приведём подобные и запишем уравнение в виде
+ 2(68)
Новые коэффициенты выражаются через старые по формулам:
(69)
Содержание
- Аналитическая геометрия
- I. Элементы векторной алгебры
- 1.1. Геометрические векторы
- 1.2. Сложение векторов
- 1.3. Умножение вектора на действительное число
- 1.4. Коллинеарные векторы
- 1.5. Компланарные векторы
- 1.6. Проекция на прямую параллельно данной плоскости
- 1.7. Проекция вектора на ось
- 1.8. Ортогональная проекция вектора на ось
- 1.9. Скалярное произведение векторов
- 1.10. Векторное произведение векторов
- 1.15. Смешанное произведение векторов
- II. Метод координат на плоскости и в пространстве
- 2.1 Введение системы аффинных и прямоугольных координат на плоскости и в пространстве
- 2.2. Аффинные задачи на плоскости и в пространстве
- 2.2.1. Координаты вектора, заданного координатами его концов.
- 2.3. Метрические задачи на плоскости и в пространстве .
- 2.3.1. Расстояние между точками.
- 2.3.2. Угол, заданный тремя точками.
- 2.4. Преобразование аффинных координат на плоскости и в пространстве
- 2.5. Преобразование прямоугольных координат на плоскости
- 2.6. Полярные координаты на плоскости
- 2.7. Цилиндрические и сферические координаты в пространстве
- III. Образы первой ступени
- 3.1. Условия, определяющие фигуру в системе координат
- 3.2. Прямая в аффинной системе координат на плоскости и в пространстве
- 3.2.1. Уравнения прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору
- 3.2.2. Уравнения прямой, проходящей через две точки
- 3.2.3. Общие уравнения прямой
- I.Общее уравнение прямой на плоскости
- 2. Общие уравнения прямой в пространстве
- 3.2.4. Исследование взаимного расположения прямых
- 3.3. Прямая в прямоугольной системе координат на плоскости
- 3.3.1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору
- 3.3.2. Уравнение прямой, проходящей через данную точку под данным углом к оси (Ох)
- 3.3.3. Нормальное уравнение прямой
- 3.3.4. Угол между двумя прямыми, заданными общими уравнениями
- 3.3.5. Угол между наклонными прямыми, заданными уравнениями с угловыми коэффициентами
- 3.3.6. Расстояние от точки до прямой
- 3.4. Пучок прямых на плоскости
- 3.6. Прямая и плоскость в пространстве
- 3.6.1. Плоскость в аффинной системе координат
- 3.6.1.1. Уравнения плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум данным векторам
- 3.6.1.2.. Уравнения плоскости, проходящей через три данные неколлинеарные точки
- 3.6.1.3. Общее уравнение плоскости
- 3.6.1.4. Исследование взаимного расположения двух плоскостей
- 3.6.2. Плоскость и прямая в прямоугольной системе координат
- 3.6.2.1. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору
- 3.6.2.2. Угол между двумя плоскостями
- 3.6.2.3. Угол между прямой и плоскостью
- 3.6.2.4. Расстояние от точки до плоскости
- 3.6.2.5. Расстояние от точки до прямой
- 3.6.2.6. Расстояние между скрещивающимися прямыми
- IV. Образы второго порядка
- 4.1. Элементарная теория линий второго порядка
- 4.1.1. Окружность
- 4.1.2. Эллипс
- 4.1.3. Гипербола
- 4.1.4. Парабола
- 4.1.5. Эллипс, гипербола и парабола в полярных координатах
- 4.2. Упрощение уравнения линии второго порядка
- 4.2.1. Преобразование уравнения линии второго порядка при повороте прямоугольной системы координат
- 4.2.2. Упрощение уравнения линии второго порядка. Метрическая классификация линий второго порядка
- 4.3. Поверхности
- 4.3.1. Цилиндрические поверхности
- 4.3.2. Конические поверхности
- 4.3.3. Поверхности вращения
- 4.3.4. Эллипсоид
- 4.3.5. Однополостный гиперболоид
- 4.3.6. Двуполостный гиперболоид
- 4.3.7. Эллиптический параболоид
- 4.3.8. Гиперболический параболоид
- 4.3.9. Прямолинейные образующие поверхности
- V. Расширенные евклидовы плоскость и пространство
- 5.1. Определение расширенных евклидовых плоскости и пространства
- 5.2. Однородные координаты на расширенной евклидовой плоскости
- 5.3. Уравнения прямой, точки и линий второго порядка в однородных координатах на расширенной евклидовой плоскости
- 5.4. Однородные координаты в расширенном евклидовом пространстве
- 5.5. Уравнения плоскости и прямой в однородных координатах
- Задачи по аналитической геометрии для домашних заданий
- Метод координат на плоскости и в пространстве
- Lll. Прямая линия на плоскости
- LV. Плоскость и прямая в пространстве
- V. Элементарная теория кривых второго порядка
- Vl. Элементарная теория поверхностей
- Vll. Другие системы координат на плоскости и в пространстве
- Основная литература