logo
АНАЛИТ

3.6.2.4. Расстояние от точки до плоскости

Дано: ,П : Ах + Ву + Сz + D = 0, М(х0, у0, z0).

Найти расстояние d(M0, П) от точки М0 до плоскости П.

Из уравнения плоскости П следует, что вектор перпендикулярен плоскостиП. Опустим из точки М0 перпендикуляр NM0 на плоскость П (рис. 51). Пусть N(x1, y1, z1). Тогда Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0 (). Искомое расстояние

d(M0, П) = ()

Рис. 51

Вектор коллинеарен с вектором. Так как, то(). Отсюда и из равенства () следует, что d(M0, П) = =(). Итак, задача свелась к нахождению . Умножим скалярно на обе части равенства (), получим . Перейдя к координатам и учитывая, что система координат прямоугольная, получим

A(x0 x1) + B(y0y1) + C(z0z1) = (A2 + B2 + C2).

Так как A2 + B2 + C2  0, то . Из равенства () следует, что =D. Итак, . Подставив в (), получим

d(M0, П) = (52)

Задача 18. Дано: ,П : 12х + 3у  4z  35 = 0.

Найдите уравнения плоскостей, параллельных П и отстоящих от неё на расстоянии 5.

Решение. Обозначим искомые плоскости П1 и П2 . Тогда М  (П1 П2)  d(M, П) = 5. Используя формулу (52), получим М  (П1 П2)  . После упрощения получим. Раскрывая модуль, получим уравнения двух плоскостей:

П1 : 12х + 3у  4z  80 = 0 и П2 : 12х + 3у  4z + 10 = 0.