logo
АНАЛИТ

4.1.2. Эллипс

Определение 27. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных различных точек есть постоянная величина (рис. 60).

Данные точки называются фокусами и обозначаются F1 и F2. Данная постоянная величина обозначается 2. ЕслиF1F2 = 2с, то при  с не существует ни одной точки М. При = с точки М заполняют отрезок F1F2. Поэтому для того, чтобы эллипс был отличен от отрезка необходимо и достаточно, чтобы  с.

Рис. 60

Поставим задачи:

Так как в определении эллипса используется расстояние между точками, то систему координат лучше выбрать прямоугольную. Так как все точки эллипса связаны с фокусами, то за начало координат лучше выбрать середину отрезка F1F2. Ось (ОХ) направим через фокусы в направлении от F1 к F2 (рис. 61). Выбранная система координат называется канонической системой

координат для эллипса. В этой системе координат F1(с, 0), F2 (с, 0). Пусть М (х, у). Тогда

r1 = F1М = , r2 = F2М= .

М  эллипсу  r1 + r2 = 2а. Следовательно,

М  эллипсу  + = 2а (55)

Уравнение (55) есть уравнение эллипса. Упростим его. Для этого уединим один из корней и возведём обе части уравнения в квадрат.

Рис. 61

= 2а  ,

х2 – 2сх + с2 + у2 = 4а2 – 4а+х2 + 2сх + с2 + у2

а=а2 + сх.

Ещё раз возведя в квадрат, получим

а2х2 + 2 а2сх + а2с2 + а2у2 = а4 + 2 а2сх + с2х2,

(а2 – с2)х2 + а2у2 = а2(а2 – с2).

Так как  с, то можно обозначить а2 – с2 = в2. Последнее уравнение запишется

в2х2 + а2у2 = а2в2. Разделив на = а2в2, получим

(56)

Итак, уравнение (55) преобразовано в уравнение (56). Но при этом два раза применяли возведение в квадрат. Следовательно, нужно проверить, что уравнения (55) и (56) эквивалентны. Для этого достаточно показать, что, если координаты (х, у) удовлетворяют уравнению (56), то они удовлетворяют и уравнению (55).

Пусть (х, у) удовлетворяют уравнению (56). Тогда =. Подставив у2 в выражение для r1, получим r1 = =====(Из уравнения (2) следует, чтоа ха . Так как  с, то  0). Аналогично получим, что r2 = . Следовательно, r1 + r2 = 2,но это значит, что точка М(х, у) лежит на эллипсе. Итак, уравнения (55) и (56) эквивалентны. Уравнение (56) называется каноническим уравнением эллипса.

Будем исследовать эллипс, используя уравнение (56). Из него следует:

  • , т.е. ;

  • эллипс пересекает ось (ОХ) в точках А1(,0) и А2(, 0);

  • , т.е. ;

  • эллипс пересекает ось (ОУ) в точках В1(0, ) и В2(0, );

Рис. 62

 эллипс вписан в прямоугольник, стороны которого параллельны осям координат и проходят через точки А1, А2, В1, В2 (рис. 62);

  • эллипс симметричен относительно осей координат и относительно начала координат;

  • в первом координатном углу при увеличении х от нуля до а координата у убывает от нуля до (рис. 63).

  • длины отрезков А1А2 и В1В2 равны 2а и 2соответственно. Эти отрезки называются большой и малой осью эллипса соответственно. Точки А1, А2, В1, В2 называются вершинами эллипса. Фокусы

Рис.63

эллипса лежат на его большой оси между вершинами.

Величина  = называетсяэксцентриситетом эллипса. Очевидно, 0    1.

Определение 28. Прямые, которые в канонической системе координат имеют уравнения , называютсядиректрисами эллипса.

Так как   1, то эллипс лежит между своими директрисами (рис. 64).

Фокус F1(с, 0) и директриса , а так же фокусF2(с, 0) и директриса называются соответствующими.

Теорема 1. Отношение расстояния от любой точки эллипса до фокуса к расстоянию от этой же точки до соответствующей директрисы есть постоянная величина, равная эксцентриситету.

Доказательство. F1М = =а + х, МК1= =. Следовательно,

F1М : МК1 =  ( рис. 5).

Аналогично, F2М : МК2 =  .

(Здесь МК1 и МК2  перпендикуляры, опущенные из точки М на директрисы р1 и р2 соответственно.)

Рис. 64

Определение 29. Прямая называется касательной к эллипсу, если она имеет с эллипсом одну двукратную точку пересечения. Общая точка эллипса и его касательной называется точкой касания.

Теорема 2. В любой точке эллипса существует касательная к нему и только одна. Если эллипс задан уравнением (56) и точка касания М0(х0, у0), то касательная имеет уравнение

(57).

Доказательство. Если М0(х0, у0) – любая точка эллипса, то = 1 (). Пусть р – любая прямая, проходящая через точку М0. Тогда уравнения р будут х = х0 + mt, у = у0 + nt, где {m, n} – координаты направляющего вектора прямой р. Для того чтобы найти уравнение касательной, достаточно найти m и n. Координаты точки пересечения эллипса и прямой р должны удовлетворять системе ,х = х0 + mt, у = у0 + nt.

Подставляя х и у в первое уравнение системы, получаем . Отсюда. Используя (), получим . Так какt = 0 является решением полученного уравнения, то для существования уравнения касательной необходимо и достаточно, чтобы второй его корень тоже был равен нулю, т.е. должно быть . Все решения этого уравнения пропорциональны решению. Так как все эти решения определяют пропорциональные векторы, то искомая касательная существует и только одна. Найдём её уравнение, используя каноническое уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору. Получим. Преобразуя это уравнение и используя (), получим уравнение .

Теорема 3. Если большая ось эллипса постоянна, то при   0 эллипс стремится к окружности, если   1, то эллипс стремится к своей большой оси (т.е. к отрезку А1А2).

Доказательство. Так как и, то при постояннома с уменьшением  уменьшается с, а увеличивается. Если  0, то  а, т.е. эллипс стремится к окружности. При этом фокусы сближаются и стремятся к центру окружности. Следовательно, окружность есть предельное положение эллипса. Если   1, то с  а,  0, Фокусы стремятся к вершинам большой оси, а сам эллипс стремится к отрезку А1А2.

Замечание 1. Если при выводе уравнения эллипса через фокусы направить ось (ОУ) и постоянную, о которой идёт речь в определении, обозначить 2, то будет с, а2 = 2 – с2 и уравнение эллипса будет такого же вида , но а.

Замечание 2. Если центром эллипса является точка М(х0, у0), но оси его параллельны координатным осям, то уравнение эллипса будет .