2.1 Введение системы аффинных и прямоугольных координат на плоскости и в пространстве

На плоскости

Определение 15. Аффинным репером называется совокупность фиксированной точки и фиксированного базиса, т.е.

R = .

Точка О называется началом координат, векторы и координатными векторами.

Точка О вместе с каждым координатным вектором определяет ось. Эти оси называются координатными осями и обозначаются (Ох) и (Оу) (рис. 20).

Рис. 20

Координатные оси разбивают плоскость на четыре угла. Их называют координатными углами. Координатные углы нумеруются в направлении кратчайшего поворота оси (Ох) к оси (Оу).

Говорят, что репер

R = задаёт на плоскости систему аффинных координат.

Пусть М – произвольная точка плоскости.

Вектор (рис. 21) называетсярадиусом- -вектором точки М (его часто обозначают одной буквой ).

Рис. 21

Между множеством всех точек плоскости и множеством всех компланарных векторов, которые можно отложить в этой плоскости, устанавливается взаимнооднозначное соответствие. Следовательно, радиус-вектор точки вполне определяет эту точку и называется её векторной координатой. Обозначение М(.

В базисе , входящем в данный репер, векторзадаётся упорядоченной парой своих координат. Между множеством всех компланарных векторов и множеством всех упорядоченных пар действительных чисел тоже устанавливается взаимно однозначное соответствие. Итак,

М   {x, y}.

Отсюда следует, что между множеством всех точек плоскости и множеством всех упорядоченных пар действительных чисел устанавливается взаимнооднозначное соответствие. Следовательно, любая точка плоскости вполне определяется упорядоченной парой действительных чисел.

Определение 16. Аффинными координатами точки в репере

R =

называются координаты её радиуса-вектора в базисе, входящем в этот репер.

М(х, у)_R  .

Замечание. Если зафиксирован только один репер, то координаты точки можно обозначать М(х, у).

В пространстве

Определение 15¹. Аффинным репером называется совокупность фиксированной точки и фиксированного базиса, т.е.

R = .

Точка О называется началом координат, векторы ,и координатными векторами.

Точка О вместе с каждым координатным вектором определяет ось. Эти оси называются координатными осями и обозначаются (Ох), (Оу) и (Оz) (рис. 20¹).

Рис. 20¹

Каждая пара координатных осей определяет плоскость. Их называют координатными плоскостями и обозначают (ХОУ), (ХОZ) и (УОZ). Координатные плоскости разбивают пространство на 8 трёхгранных углов. Их называют координатными углами.

Говорят, что репер R = задаёт в пространстве систему аффинных координат.

Пусть М – произвольная точка пространства. Вектор (рис.21¹) называется радиусом-вектором точки М (его часто обозначают одной буквой ).

Рис.21¹

Между множеством всех точек плоскости и множеством всех геометрических векторов устанавливается взаимнооднозначное соответствие. Следовательно, радиус-вектор точки вполне определяет эту точку и называется её векторной координатой.

Обозначение М(.

В базисе , входящем в данный репер, векторзадаётся упорядоченной тройкой своих координат. Между множеством всех геометрических векторов и множеством всех упорядоченных троек действительных чисел тоже устанавливается взаимно однозначное соответствие. Итак,

М   {x, y, z}.

Отсюда следует, что между множеством всех точек пространства и множеством всех упорядоченных троек действительных чисел устанавливается взаимнооднозначное соответствие. Следовательно, любая точка пространства вполне определяется упорядоченной тройкой действительных чисел.

Определение 16¹. Аффинными координатами точки в репере

R =

называются координаты её радиуса-вектора в базисе, входящем в этот репер.

М(х, у, z)_R  .

Замечание. Если зафиксирован только один репер, то координаты точки можно обозначать М(х, у, z).