logo
АНАЛИТ

4.1.4. Парабола

Определение 34. Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых равноудалёна от данной точки и от данной прямой (данная точка не лежит на данной прямой).

Данная точка F называется фокусом параболы, а данная прямая t – её директрисой.

Выберем прямоугольную систему координат так, чтобы ось (ОХ) проходила через фокус перпендикулярно директрисе в сторону от директрисы к фокусу. За начало координат возьмём середину отрезка между директрисой и фокусом (рис. 71).

М  параболе  FМ = d(М, t) ().

Обозначим d(F, t) = р. Тогда F(и прямая t

Рис. 71

будет иметь уравнение х = . Равенство () перепишется . Получили уравнение параболы. Так как обе части равенства неотрицательны, то возведение в квадрат даст эквивалентное уравнение

у2 = 2рх (61).

Полученное уравнение называется каноническим уравнением параболы. В этом уравнении р  0. Из уравнения (61) следуют свойства:

 парабола лежит в той полуплоскости с границей (ОУ), в сторону которой направлена ось (ОХ);

 парабола симметрична относительно оси (ОХ);

 при х   у  ;

 парабола проходит через начало координат и не имеет других точек пересечения с осями координат. Начало координат называется вершиной параболы.

Рис. 72

Если М0(х0, у0)  параболе, то уравнение касательной к параболе в этой точке имеет вид уу0 = р(х + х0).

Теорема 7. Любые две параболы подобны.

Доказательство. Пусть у2 = 2рх и у2 = 2р1х  две параболы. Пусть у = кх – любая прямая, проходящая через начало координат. Пусть эта прямая пересекает параболы в точках М и . Тогда, если прямая проходит в первом координатном углу, то М(х1,),(х2, ). Так какМ и лежат на данной прямой, то у1 = кх1, у2 = кх2. Следовательно, ,,,

Рис. 73

. Отсюда , т.е. параболы подобны с коэффициентом подобия.

Замечание 1. Если вершиной параболы является точка С(х0, у0) и ось параболы параллельна оси (ОХ), то парабола имеет уравнение

(у – у0)2 = 2р(х – х0).

Замечание 2. Если в уравнении (7) р  0, то парабола располагается в той полуплоскости с границей (ОУ), в которой лежит отрицательная полуось (ОХ). Уравнение х2 = 2ру при любом р задаёт параболу, симметричную относительно оси (ОУ).

Общие свойства эллипса, гиперболы и параболы описывает следующая

Теорема 8. Для любых данных прямой t и точки F (F t) множество точек, отношение расстояний от каждой из которых до данной точки и до данной прямой есть постоянная величина , есть либо эллипс, либо гипербола, либо парабола.