5.4. Однородные координаты в расширенном евклидовом пространстве

Пусть в евклидовом пространстве до его расширения была введена системе аффинных координат с помощью репера . Выходя в четырёхмерное пространство, возьмём точкуS, не принадлежащую данному пространству и рассмотрим репер , где. Каждой точке расширенного пространства поставим в соответствие прямую, проходящую через эту точку и точкуS. Это соответствие будет взаимнооднозначным. Так как каждая проведённая прямая вполне определяется своим направляющим вектором, то между всеми точками пространства и всеми классами пропорциональных упорядоченных ненулевых четвёрок действительных чисел устанавливается тоже взаимнооднозначное соответствие

М  (X : Y : Z : T), где X, Y, Z, T не равны нулю одновременно.

Отношение (X : Y : Z : T) называется однородными координатами точки М и записывается М(X : Y : Z : T). Точка М будет собственной тогда и только тогда, когда T  0. Если (x, y, z) – соответствующие аффинные координаты этой точки, то ,,. Точка М будет несобственной тогда и только тогда, когда Т = 0. Следовательно, Т = 0 есть уравнение несобственной (бесконечно удалённой) плоскости.