3.2.4. Исследование взаимного расположения прямых

I. Исследовать взаимное расположение прямых, заданных общими уравнениями в АСК на плоскости.

Дано. R = , l₁ : A₁x + B₁y + C₁ = 0, l₂ : A₂x + B₂y + C₂ = 0.

Исследовать взаимное расположение l₁ и l₂ .

Исследование. Взаимное расположение прямых на плоскости зависит от числа их общих точек. Точка является общей для двух прямых тогда и только тогда, когда её координаты удовлетворяют уравнениям обеих прямых, т.е. удовлетворяют системе уравнений

(21)

Таким образом геометрическая задача сведена к алгебраической – к исследованию системы двух уравнений с двумя неизвестными. Из курса алгебры известно, что для такой системы возможны три случая.

1. . В этом случае система (21) имеет единственное решение. На геометрическом языке это означает, что прямыеl₁ и l₂ имеют одну общую точку, т.е. пересекаются. Итак, условие есть условие пересечения прямых, заданных общими уравнениями.

2. . В этом случае уравнения системы (21) эквивалентны, т.е. все решения одного из них являются решениями другого. На геометрическом языке – все точки одной прямой лежат на другой, т.е. прямые совпадают.

3. . В этом случае система (21) не имеет ни одного решения. На геометрическом языке – прямыеl₁ и l₂ не имеют ни одной общей точки.

Если вспомнить определение: прямые l₁ и l₂ называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и либо совпадают, либо не имеют ни одной общей точки, то получаем, что прямые l₁ и l₂ параллельны тогда и только тогда, когда .

II. Исследовать взаимное расположение прямых на плоскости в АСК, если одна из прямых задана общим уравнением, а вторая – параметрическими уравнениями.

Дано. R = , l₁ : Ax + By + C = 0, l₂ :

Исследовать взаимное расположение l₁ и l₂ .

Исследование. Взаимное расположение прямых на плоскости зависит от числа их общих точек. Точка является общей для двух прямых тогда и только тогда, когда её координаты удовлетворяют уравнениям обеих прямых, т.е. удовлетворяют системе уравнений

(22)

Подставив выражения х и у в первое уравнение и приведя подобные, получим

t(Am + Bn) + (Ax₀ + By₀ + C) = 0 (23)

Для уравнения (23) возможны три случая.

1. Am + Bn  0. В этом случае Уравнение (23) имеет одно решение. На геометрическом языке это значит, что l₁ и l₂ имеют одну общую точку. Получили условие пересечения прямых.

2. Am + Bn = 0 и Ax₀ + By₀ + C = 0. В этом случае уравнение (23) имеет вид 0t + 0 = 0. Этому уравнению удовлетворяют все t  R. На геометрическом языке это значит, что все точки второй прямой принадлежат первой прямой, т.е. прямые совпадают.

3. Am + Bn = 0, но Ax₀ + By₀ + C  0. Уравнение (23) не имеет решения. Следовательно, прямые l₁ и l₂ не имеют ни одной общей точки.

Из случаев 2 и 3 получаем: прямые l₁ и l₂ параллельны тогда и только тогда, когда Am + Bn = 0.

III. Исследовать взаимное расположение двух прямых в АСК в пространстве, если прямые заданы параметрическими (или каноническими) уравнениями.

Дано: R = , ,

: .

Исследовать взаимное расположение l₁ и l₂ .

Исследование. Из уравнений первой прямой М₁(х₁, у₁, z₁)  l₁, , l₁. Из уравнений второй прямой М₂(х₂, у₂, z₂)  l₂,

3. l₁ пересекает l₂  векторы компланарны = 0.

4. l₁ скрещивается с l₂  векторы не компланарны  0.

IV. Исследовать взаимное расположение двух прямых в АСК в пространстве, если одна прямая задана общими, а вторая – параметрическими (или каноническими) уравнениями.

Дано: R = ,

Исследовать взаимное расположение l₁ и l₂ .

Исследование сводится к исследованию системы пяти уравнений с четырьмя неизвестными. Подставив выражения х, у, z из уравнений второй прямой в уравнения первой прямой, получим

(*)

Исследуйте систему (*) самостоятельно.