logo search
АНАЛИТ

2.6. Полярные координаты на плоскости

Определение 18. Полярным репером называется совокупность фиксированных точки и единичного вектора Р = . ТочкаО называется полюсом (или началом полярной системы координат).

Точка О вместе с вектором определяет луч, который называетсяполярной осью.

Пусть М – произвольная точка плоскости,  её радиус-вектор. Положение точки М вполне определено, если известны длина её радиуса-вектора и ориентированный угол (рис. 25). Упорядоченная пара чисел (, ) называется полярными координатами точки М и обозначается М (, ). Каждая пара (, ) определяет точку на плоскости

Рис. 25

и только одну. Но любая точка плоскости имеет бесконечно много пар полярных координат. Действительно, если М (, ), то М (, + 2к), где к – любое целое число. Точка О – единственная точка, для которой полярным углом может быть любой угол. Полярный репер Р = и ортонормированный реперR = называются соответствующими друг другу. ЕслиМ (, )Р и М(х, у)R, то x = cos, y = sin. В полярных координатах может принимать все возможные действительные значения, а 0. Если отказаться от условия, что 0, то мы получим обобщённые полярные координаты.

Пусть М (, ). Если 0, то обобщенные полярные координаты совпадают с обычными полярными координатами. Если же  0, то точка М определяется так: проведём луч под углом к полярной оси и

на дополнительном к нему луче отложим отрезок ОМ, длина которого равна || (рис. 26).

Задача 13. Постройте точки, заданные в полярной системе координат А(3, ),В(3, ),С(3, ),К(3, ), Н(3, 0).

Рис. 26

Решение. Для построения точки А проводим луч с началом в точке О под углом к полярной оси и на нём откладываем отрезокОА, длина которого равна 3. Для построения точки В проводим луч с началом в точке О под углом к полярной оси и на дополнительном к нему луче

Рис. 27

откладываем от точки О отрезок длины 3 = 3, получаем , что В = А. Для построения точки С проводим луч под углом к полярной оси и на нём откладываем отрезок длины 3. ЛучОК образует с осью угол и имеет длину 3. Луч ОН сонаправлен с осью и имеет длину 3.

Пусть полярная система координат задана репером Р = , а прямоугольная система координат задана реперомR = (т.е. начало координат у них одно и то же и полярная ось совпадает с осью абсцисс). ПустьМ – произвольная точка плоскости, М (, )Р и М (х, у)R. Так как х = пр и у = пр, то Из этих формул следует, чтоПолучили связь между прямоугольными декартовыми координатами точки иеё соответствующими полярными координатами.